Решение контрольной работы: Степень с рациональным показателем

Ниже представлено решение заданий из Варианта I, оформленное для переписывания в тетрадь. Контрольная работа по теме: Степень с рациональным показателем. №1. Представить степень с дробным показателем в виде корня: 1) \( 3y^{\frac{4}{5}} = 3\sqrt[5]{y^4} \) 2) \( c^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{c^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{c^2}} \) 3) \( a^{0,5} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} \) 4) \( -5x^{1,4} = -5x^{\frac{14}{10}} = -5x^{\frac{7}{5}} = -5\sqrt[5]{x^7} \) 5) \( (x-y)^{\frac{5}{7}} = \sqrt[7]{(x-y)^5} \) №2. Представить арифметический корень в виде степени с дробным показателем: 1) \( \sqrt[7]{a^2} = a^{\frac{2}{7}} \) 2) \( \sqrt[14]{a^{-3}} = a^{-\frac{3}{14}} \) 3) \( \sqrt[5]{x} = x^{\frac{1}{5}} \) 4) \( \sqrt{y^{-11}} = y^{-\frac{11}{2}} \) 5) \( \sqrt[5]{x+y} = (x+y)^{\frac{1}{5}} \) №3. Вычислить: 1) \( 81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9 \) 2) \( 121^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{121}} = \frac{1}{11} \) 3) \( 4 \cdot 125^{-\frac{1}{3}} = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{125}} = 4 \cdot \frac{1}{5} = 0,8 \) 4) \( 243^{0,6} = 243^{\frac{3}{5}} = (\sqrt[5]{243})^3 = 3^3 = 27 \) 5) \( \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{24}} = \sqrt[3]{\frac{3}{24}} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} = 0,5 \) 6) \( \sqrt[3]{1\frac{11}{25}} \cdot \sqrt[3]{3\frac{16}{15}} = \sqrt[3]{\frac{36}{25} \cdot \frac{61}{15}} \) (в условии, вероятно, опечатка, обычно подбираются числа для извлечения корня). 7) \( \sqrt[4]{\sqrt{97}-4} \cdot \sqrt[4]{\sqrt{97}+4} = \sqrt[4]{(\sqrt{97}-4)(\sqrt{97}+4)} = \sqrt[4]{97-16} = \sqrt[4]{81} = 3 \) 8) \( 2^{-3} \cdot 64^{\frac{1}{2}} - 64^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-4} = \frac{1}{8} \cdot 8 - 4 \cdot \frac{1}{16} = 1 - \frac{1}{4} = 0,75 \) №4. Выполнить действия: 1) \( a^{\frac{2}{5}} \cdot a^{\frac{3}{4}} = a^{\frac{2}{5} + \frac{3}{4}} = a^{\frac{8+15}{20}} = a^{\frac{23}{20}} \) 2) \( x^{\frac{1}{2}} : x^{\frac{5}{6}} = x^{\frac{1}{2} - \frac{5}{6}} = x^{\frac{3-5}{6}} = x^{-\frac{2}{6}} = x^{-\frac{1}{3}} \) 3) \( (y^{\frac{3}{5}})^{\frac{5}{6}} = y^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6}} = y^{\frac{1}{2}} \) 4) \( (a^2 c^4)^{\frac{3}{8}} = a^{2 \cdot \frac{3}{8}} \cdot c^{4 \cdot \frac{3}{8}} = a^{\frac{3}{4}} c^{\frac{3}{2}} \) 5) \( \left( \frac{x^4}{y^{5/6}} \right)^{0,2} = \left( \frac{x^4}{y^{5/6}} \right)^{\frac{1}{5}} = \frac{x^{\frac{4}{5}}}{y^{\frac{1}{6}}} \) №5. Упростить выражение и найти его значение: \[ \frac{a - 3a^{\frac{1}{2}}}{a - 6a^{\frac{1}{2}} + 9} \] Разложим числитель и знаменатель на множители: Числитель: \( a - 3a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 3) \) Знаменатель: \( a - 6a^{\frac{1}{2}} + 9 = (a^{\frac{1}{2}} - 3)^2 \) Получаем: \[ \frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 3)}{(a^{\frac{1}{2}} - 3)^2} = \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - 3} \] При \( a = 441 \): \( a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{441} = 21 \) \[ \frac{21}{21 - 3} = \frac{21}{18} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \]