Решение задачи: Найти угол BAC в треугольнике с биссектрисой

Дано: Треугольник \(ABC\). \(AD\) — биссектриса угла \(BAC\). \(BD = 21\), \(CD = 35\). Разность сторон \(AC - AB = 16\). Найти: \(\angle BAC\). Решение: 1. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: \[\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CD}\] \[\frac{AB}{21} = \frac{AC}{35}\] 2. Сократим дробь \(\frac{21}{35}\) на 7, получим: \[\frac{AB}{3} = \frac{AC}{5}\] Отсюда можно выразить стороны через коэффициент пропорциональности \(x\): \(AB = 3x\), \(AC = 5x\). 3. Используем условие о разности сторон: \[AC - AB = 16\] \[5x - 3x = 16\] \[2x = 16\] \[x = 8\] 4. Найдем длины сторон треугольника: \(AB = 3 \cdot 8 = 24\) \(AC = 5 \cdot 8 = 40\) Сторона \(BC = BD + CD = 21 + 35 = 56\) 5. Для нахождения угла \(A\) (это и есть \(\angle BAC\)) воспользуемся теоремой косинусов: \[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A\] \[56^2 = 24^2 + 40^2 - 2 \cdot 24 \cdot 40 \cdot \cos A\] \[3136 = 576 + 1600 - 1920 \cdot \cos A\] \[3136 = 2176 - 1920 \cdot \cos A\] 6. Выразим косинус: \[1920 \cdot \cos A = 2176 - 3136\] \[1920 \cdot \cos A = -960\] \[\cos A = \frac{-960}{1920}\] \[\cos A = -0,5\] 7. Так как \(\cos A = -0,5\), то угол \(A = 120^\circ\). Ответ: 120