Решение задачи: Найдите угол BAC треугольника ABC

Дано: Треугольник \(ABC\). \(AD\) — биссектриса угла \(BAC\). Отрезки на стороне \(BC\): \(BD = 21\), \(CD = 35\). Разность сторон: \(AC - AB = 16\). Найти: \(\angle BAC\). Решение: 1. Воспользуемся свойством биссектрисы внутреннего угла треугольника: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. \[\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CD}\] \[\frac{AB}{21} = \frac{AC}{35}\] 2. Упростим отношение, разделив знаменатели на 7: \[\frac{AB}{3} = \frac{AC}{5}\] Пусть \(AB = 3x\), тогда \(AC = 5x\). 3. Используем условие задачи о разности сторон: \[AC - AB = 16\] \[5x - 3x = 16\] \[2x = 16\] \[x = 8\] 4. Вычислим длины сторон треугольника: \[AB = 3 \cdot 8 = 24\] \[AC = 5 \cdot 8 = 40\] Сторона \(BC = BD + CD = 21 + 35 = 56\). 5. Применим теорему косинусов для стороны \(BC\), чтобы найти угол \(A\) (угол \(BAC\)): \[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A\] \[56^2 = 24^2 + 40^2 - 2 \cdot 24 \cdot 40 \cdot \cos A\] \[3136 = 576 + 1600 - 1920 \cdot \cos A\] \[3136 = 2176 - 1920 \cdot \cos A\] 6. Выразим \(\cos A\): \[1920 \cdot \cos A = 2176 - 3136\] \[1920 \cdot \cos A = -960\] \[\cos A = -\frac{960}{1920}\] \[\cos A = -0,5\] 7. Определим величину угла: Так как \(\cos A = -0,5\), то \(\angle A = 120^\circ\). Ответ: 120