Решение задачи по теории вероятностей: Вариант 4

Вариант 4 Задача 1 Дано: \( p_1 = 0,4 \) — вероятность прохождения 1-го препятствия. \( p_2 = 0,5 \) — вероятность прохождения 2-го препятствия. \( p_3 = 0,6 \) — вероятность прохождения 3-го препятствия. Вероятности неудач: \( q_1 = 0,6 \), \( q_2 = 0,5 \), \( q_3 = 0,4 \). а) Вероятность прохождения трех препятствий: \[ P(A) = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,6 = 0,12 \] б) Вероятность прохождения не менее двух препятствий (это значит 2 или 3): Вероятность прохождения ровно двух: \[ P_2 = p_1 p_2 q_3 + p_1 q_2 p_3 + q_1 p_2 p_3 = 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,4 + 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,6 + 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,6 = 0,08 + 0,12 + 0,18 = 0,38 \] Итоговая вероятность: \[ P(B) = P_2 + P(A) = 0,38 + 0,12 = 0,5 \] в) Вероятность прохождения двух препятствий: \[ P(C) = 0,38 \] Задача 2 Дано: \( p_1 = 0,8 \); \( p_2 = 0,7 \); \( p_3 = 0,9 \); \( p_4 = 0,5 \). Вероятности отказа: \( q_1 = 0,2 \); \( q_2 = 0,3 \); \( q_3 = 0,1 \); \( q_4 = 0,5 \). Событие: откажет ровно один блок. \[ P = q_1 p_2 p_3 p_4 + p_1 q_2 p_3 p_4 + p_1 p_2 q_3 p_4 + p_1 p_2 p_3 q_4 \] \[ P = 0,2 \cdot 0,7 \cdot 0,9 \cdot 0,5 + 0,8 \cdot 0,3 \cdot 0,9 \cdot 0,5 + 0,8 \cdot 0,7 \cdot 0,1 \cdot 0,5 + 0,8 \cdot 0,7 \cdot 0,9 \cdot 0,5 \] \[ P = 0,063 + 0,108 + 0,028 + 0,252 = 0,451 \] Задача 3 Слово ПОЛИГЛОТ состоит из 8 букв: П(1), О(2), Л(2), И(1), Г(1), Т(1). Нужно составить слово ЛОТО (4 буквы). Общее число способов выбрать 4 карточки из 8: \[ C_8^4 = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70 \] Число благоприятных исходов (выбрать буквы Л, О, Т, О): Букв Л — 2 шт, нужно 1: \( C_2^1 = 2 \) способа. Букв О — 2 шт, нужно 2: \( C_2^2 = 1 \) способ. Букв Т — 1 шт, нужно 1: \( C_1^1 = 1 \) способ. Количество сочетаний букв: \( 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2 \). Для каждого набора букв {Л, О, Т, О} существует только одна правильная перестановка, образующая слово. Общее количество перестановок из 4 букв: \( 4! = 24 \). Вероятность: \[ P = \frac{2}{70 \cdot 24} = \frac{2}{1680} \approx 0,00119 \] Задача 4 На схеме указаны вероятности выхода из строя (отказа) \( q \). 1. Первый блок: \( q_1 = 0,4 \). Вероятность работы: \( p_1 = 1 - 0,4 = 0,6 \). 2. Средний узел (три параллельных блока): \( q_2 = 0,2 \); \( q_3 = 0,2 \); \( q_4 = 0,2 \). Вероятность отказа узла: \( Q_{узла1} = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008 \). Вероятность работы узла: \( P_{узла1} = 1 - 0,008 = 0,992 \). 3. Правый узел (два параллельных блока): \( q_5 = 0,3 \); \( q_6 = 0,3 \). Вероятность отказа узла: \( Q_{узла2} = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09 \). Вероятность работы узла: \( P_{узла2} = 1 - 0,09 = 0,91 \). Так как узлы соединены последовательно, общая надежность: \[ P_{общ} = p_1 \cdot P_{узла1} \cdot P_{узла2} = 0,6 \cdot 0,992 \cdot 0,91 \approx 0,5416 \]