Решение задачи №11: Расчет токов КЗ методом именованных единиц

Задача № 11. Вариант 3. Рассчитать токи и мощность к.з. в расчетных точках методом именованных единиц. Рис. 1. Расчетная схема. (Схема включает: Система (Сис), ВЛ1, Трансформатор Тр-р 1, Трансформатор Тр-р 2, ВЛ2. Точки короткого замыкания: К1, К2, К3.) Таблица 1 - Данные для решения задачи. | Элемент | \(U_{\text{н}}\), кВ | \(l\), км | Провод | \(S_{\text{н}}\), кВА | \(U_{\text{к}}\), % | |---|---|---|---|---|---| | Данные системы | \(S_{\text{б}}\) = 200 МВА | 110 | | | | | ВЛ1 | 110 | 110 | АС95 | | | | Тр-р 1 | | | | 16000 | 15,0 | | Тр-р 2 | | | | 10000 | 7,5 | | ВЛ2 | 20 | 2,5 | АС70 | | | --- Решение: Для решения задачи методом именованных единиц необходимо определить сопротивления всех элементов схемы в омах, приведенные к одной ступени напряжения. В данном случае, удобнее всего привести все сопротивления к ступени напряжения 110 кВ. 1. Определим сопротивление системы. Мощность короткого замыкания на шинах системы: \(S_{\text{к.з.с}}\) = \(S_{\text{б}}\) = 200 МВА. Номинальное напряжение системы: \(U_{\text{н.с}}\) = 110 кВ. Сопротивление системы: \[Z_{\text{с}} = \frac{U_{\text{н.с}}^2}{S_{\text{к.з.с}}} = \frac{(110 \text{ кВ})^2}{200 \text{ МВА}} = \frac{12100 \text{ кВ}^2}{200 \text{ МВА}} = 60,5 \text{ Ом}\] 2. Определим сопротивление воздушной линии ВЛ1. Длина ВЛ1: \(l_{\text{ВЛ1}}\) = 110 км. Провод: АС95. Для провода АС95 удельное индуктивное сопротивление \(x_0\) = 0,4 Ом/км, удельное активное сопротивление \(r_0\) = 0,32 Ом/км (типовые значения для АС95). Активное сопротивление ВЛ1: \[R_{\text{ВЛ1}} = r_0 \cdot l_{\text{ВЛ1}} = 0,32 \text{ Ом/км} \cdot 110 \text{ км} = 35,2 \text{ Ом}\] Индуктивное сопротивление ВЛ1: \[X_{\text{ВЛ1}} = x_0 \cdot l_{\text{ВЛ1}} = 0,4 \text{ Ом/км} \cdot 110 \text{ км} = 44 \text{ Ом}\] Полное сопротивление ВЛ1: \[Z_{\text{ВЛ1}} = \sqrt{R_{\text{ВЛ1}}^2 + X_{\text{ВЛ1}}^2} = \sqrt{(35,2 \text{ Ом})^2 + (44 \text{ Ом})^2} = \sqrt{1239,04 + 1936} = \sqrt{3175,04} \approx 56,35 \text{ Ом}\] 3. Определим сопротивление трансформатора Тр-р 1. Номинальная мощность Тр-р 1: \(S_{\text{н.Тр1}}\) = 16000 кВА = 16 МВА. Напряжение короткого замыкания Тр-р 1: \(U_{\text{к.Тр1}}\) = 15,0 %. Номинальное напряжение обмотки ВН Тр-р 1: \(U_{\text{н.ВН.Тр1}}\) = 110 кВ. Сопротивление трансформатора Тр-р 1, приведенное к стороне ВН: \[Z_{\text{Тр1}} = \frac{U_{\text{к.Тр1}}}{100} \cdot \frac{U_{\text{н.ВН.Тр1}}^2}{S_{\text{н.Тр1}}} = \frac{15}{100} \cdot \frac{(110 \text{ кВ})^2}{16 \text{ МВА}} = 0,15 \cdot \frac{12100 \text{ кВ}^2}{16 \text{ МВА}} = 0,15 \cdot 756,25 \text{ Ом} = 113,4375 \text{ Ом}\] Для силовых трансформаторов обычно принимают, что активное сопротивление составляет 10-15% от индуктивного. Примем \(R_{\text{Тр1}} \approx 0,1 \cdot X_{\text{Тр1}}\). Тогда \(Z_{\text{Тр1}} = \sqrt{R_{\text{Тр1}}^2 + X_{\text{Тр1}}^2} \approx \sqrt{(0,1 X_{\text{Тр1}})^2 + X_{\text{Тр1}}^2} = \sqrt{0,01 X_{\text{Тр1}}^2 + X_{\text{Тр1}}^2} = \sqrt{1,01 X_{\text{Тр1}}^2} \approx 1,005 X_{\text{Тр1}}\). Отсюда \(X_{\text{Тр1}} \approx \frac{Z_{\text{Тр1}}}{1,005} = \frac{113,4375}{1,005} \approx 112,87 \text{ Ом}\). \(R_{\text{Тр1}} \approx 0,1 \cdot 112,87 \text{ Ом} = 11,287 \text{ Ом}\). 4. Определим сопротивление трансформатора Тр-р 2. Номинальная мощность Тр-р 2: \(S_{\text{н.Тр2}}\) = 10000 кВА = 10 МВА. Напряжение короткого замыкания Тр-р 2: \(U_{\text{к.Тр2}}\) = 7,5 %. Номинальное напряжение обмотки ВН Тр-р 2: \(U_{\text{н.ВН.Тр2}}\) = 110 кВ. Сопротивление трансформатора Тр-р 2, приведенное к стороне ВН: \[Z_{\text{Тр2}} = \frac{U_{\text{к.Тр2}}}{100} \cdot \frac{U_{\text{н.ВН.Тр2}}^2}{S_{\text{н.Тр2}}} = \frac{7,5}{100} \cdot \frac{(110 \text{ кВ})^2}{10 \text{ МВА}} = 0,075 \cdot \frac{12100 \text{ кВ}^2}{10 \text{ МВА}} = 0,075 \cdot 1210 \text{ Ом} = 90,75 \text{ Ом}\] Аналогично, \(X_{\text{Тр2}} \approx \frac{Z_{\text{Тр2}}}{1,005} = \frac{90,75}{1,005} \approx 90,29 \text{ Ом}\). \(R_{\text{Тр2}} \approx 0,1 \cdot 90,29 \text{ Ом} = 9,029 \text{ Ом}\). 5. Определим сопротивление воздушной линии ВЛ2. Номинальное напряжение ВЛ2: \(U_{\text{н.ВЛ2}}\) = 20 кВ. Длина ВЛ2: \(l_{\text{ВЛ2}}\) = 2,5 км. Провод: АС70. Для провода АС70 удельное индуктивное сопротивление \(x_0\) = 0,4 Ом/км, удельное активное сопротивление \(r_0\) = 0,45 Ом/км (типовые значения для АС70). Активное сопротивление ВЛ2: \[R_{\text{ВЛ2}} = r_0 \cdot l_{\text{ВЛ2}} = 0,45 \text{ Ом/км} \cdot 2,5 \text{ км} = 1,125 \text{ Ом}\] Индуктивное сопротивление ВЛ2: \[X_{\text{ВЛ2}} = x_0 \cdot l_{\text{ВЛ2}} = 0,4 \text{ Ом/км} \cdot 2,5 \text{ км} = 1 \text{ Ом}\] Полное сопротивление ВЛ2: \[Z_{\text{ВЛ2}} = \sqrt{R_{\text{ВЛ2}}^2 + X_{\text{ВЛ2}}^2} = \sqrt{(1,125 \text{ Ом})^2 + (1 \text{ Ом})^2} = \sqrt{1,265625 + 1} = \sqrt{2,265625} \approx 1,505 \text{ Ом}\] Приведем сопротивление ВЛ2 к ступени напряжения 110 кВ. Коэффициент трансформации для Тр-р 1 и Тр-р 2 (если они понижающие с 110 кВ на 20 кВ): \(k = \frac{110 \text{ кВ}}{20 \text{ кВ}} = 5,5\). Приведенное активное сопротивление ВЛ2: \[R'_{\text{ВЛ2}} = R_{\text{ВЛ2}} \cdot k^2 = 1,125 \text{ Ом} \cdot (5,5)^2 = 1,125 \text{ Ом} \cdot 30,25 = 34,03125 \text{ Ом}\] Приведенное индуктивное сопротивление ВЛ2: \[X'_{\text{ВЛ2}} = X_{\text{ВЛ2}} \cdot k^2 = 1 \text{ Ом} \cdot (5,5)^2 = 1 \text{ Ом} \cdot 30,25 = 30,25 \text{ Ом}\] Приведенное полное сопротивление ВЛ2: \[Z'_{\text{ВЛ2}} = Z_{\text{ВЛ2}} \cdot k^2 = 1,505 \text{ Ом} \cdot 30,25 = 45,50125 \text{ Ом}\] Теперь рассчитаем токи и мощности короткого замыкания для каждой точки. Расчетная точка К1: Короткое замыкание в точке К1 происходит на шинах 110 кВ после ВЛ1. Эквивалентное сопротивление до точки К1: \[Z_{\text{экв.К1}} = Z_{\text{с}} + Z_{\text{ВЛ1}}\] \[R_{\text{экв.К1}} = R_{\text{с}} + R_{\text{ВЛ1}}\] \[X_{\text{экв.К1}} = X_{\text{с}} + X_{\text{ВЛ1}}\] Примем, что сопротивление системы в основном индуктивное, то есть \(R_{\text{с}} \approx 0\), \(X_{\text{с}} \approx Z_{\text{с}} = 60,5 \text{ Ом}\). \[R_{\text{экв.К1}} = 0 + 35,2 \text{ Ом} = 35,2 \text{ Ом}\] \[X_{\text{экв.К1}} = 60,5 \text{ Ом} + 44 \text{ Ом} = 104,5 \text{ Ом}\] \[Z_{\text{экв.К1}} = \sqrt{R_{\text{экв.К1}}^2 + X_{\text{экв.К1}}^2} = \sqrt{(35,2 \text{ Ом})^2 + (104,5 \text{ Ом})^2} = \sqrt{1239,04 + 10920,25} = \sqrt{12159,29} \approx 110,27 \text{ Ом}\] Ток трехфазного короткого замыкания в точке К1: \[I_{\text{к.з.К1}} = \frac{U_{\text{н.с}}}{\sqrt{3} \cdot Z_{\text{экв.К1}}} = \frac{110 \text{ кВ}}{\sqrt{3} \cdot 110,27 \text{ Ом}} = \frac{110000 \text{ В}}{1,732 \cdot 110,27 \text{ Ом}} = \frac{110000 \text{ В}}{190,99 \text{ Ом}} \approx 575,9 \text{ А}\] Мощность трехфазного короткого замыкания в точке К1: \[S_{\text{к.з.К1}} = \sqrt{3} \cdot U_{\text{н.с}} \cdot I_{\text{к.з.К1}} = \sqrt{3} \cdot 110 \text{ кВ} \cdot 575,9 \text{ А} = 1,732 \cdot 110 \text{ кВ} \cdot 0,5759 \text{ кА} \approx 109,5 \text{ МВА}\] Или \[S_{\text{к.з.К1}} = \frac{U_{\text{н.с}}^2}{Z_{\text{экв.К1}}} = \frac{(110 \text{ кВ})^2}{110,27 \text{ Ом}} = \frac{12100 \text{ кВ}^2}{110,27 \text{ Ом}} \approx 109,73 \text{ МВА}\] Расчетная точка К2: Короткое замыкание в точке К2 происходит на шинах 110 кВ после трансформаторов Тр-р 1 и Тр-р 2, которые включены параллельно. Эквивалентное сопротивление параллельно включенных трансформаторов: \[Z_{\text{Тр.пар}} = \frac{Z_{\text{Тр1}} \cdot Z_{\text{Тр2}}}{Z_{\text{Тр1}} + Z_{\text{Тр2}}}\] \[R_{\text{Тр.пар}} = \frac{R_{\text{Тр1}} \cdot R_{\text{Тр2}} - X_{\text{Тр1}} \cdot X_{\text{Тр2}}}{(R_{\text{Тр1}} + R_{\text{Тр2}})^2 + (X_{\text{Тр1}} + X_{\text{Тр2}})^2} (R_{\text{Тр1}} + R_{\text{Тр2}}) + \frac{R_{\text{Тр1}} \cdot X_{\text{Тр2}} + R_{\text{Тр2}} \cdot X_{\text{Тр1}}}{(R_{\text{Тр1}} + R_{\text{Тр2}})^2 + (X_{\text{Тр1}} + X_{\text{Тр2}})^2} (X_{\text{Тр1}} + X_{\text{Тр2}})\] \[X_{\text{Тр.пар}} = \frac{R_{\text{Тр1}} \cdot X_{\text{Тр2}} + R_{\text{Тр2}} \cdot X_{\text{Тр1}}}{(R_{\text{Тр1}} + R_{\text{Тр2}})^2 + (X_{\text{Тр1}} + X_{\text{Тр2}})^2} (R_{\text{Тр1}} + R_{\text{Тр2}}) - \frac{R_{\text{Тр1}} \cdot R_{\text{Тр2}} - X_{\text{Тр1}} \cdot X_{\text{Тр2}}}{(R_{\text{Тр1}} + R_{\text{Тр2}})^2 + (X_{\text{Тр1}} + X_{\text{Тр2}})^2} (X_{\text{Тр1}} + X_{\text{Тр2}})\] Проще использовать комплексные числа: \(Z_{\text{Тр1}} = R_{\text{Тр1}} + jX_{\text{Тр1}} = 11,287 + j112,87 \text{ Ом}\) \(Z_{\text{Тр2}} = R_{\text{Тр2}} + jX_{\text{Тр2}} = 9,029 + j90,29 \text{ Ом}\) \(Z_{\text{Тр.пар}} = \frac{(11,287 + j112,87)(9,029