Решение: Найти сторону треугольника по двум сторонам и синусу угла

Дано: Стороны треугольника: \(a = 3\) см, \(b = 8\) см. Синус острого угла между ними: \(\sin \gamma = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Найти: третью сторону \(c\). Решение: 1. Для нахождения третьей стороны нам понадобится теорема косинусов, поэтому сначала найдем косинус угла \(\gamma\). Используем основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1\] \[\cos^2 \gamma = 1 - \sin^2 \gamma\] \[\cos^2 \gamma = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\] 2. Так как по условию угол \(\gamma\) — острый, его косинус должен быть положительным: \[\cos \gamma = \sqrt{\frac{1}{4}} = 0,5\] 3. Теперь применим теорему косинусов для нахождения стороны \(c\): \[c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma\] \[c^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 0,5\] 4. Выполним вычисления: \[c^2 = 9 + 64 - 24\] \[c^2 = 73 - 24\] \[c^2 = 49\] 5. Найдем длину стороны: \[c = \sqrt{49} = 7\] Ответ: 7