Нахождение стороны треугольника по теореме косинусов

Дано: Стороны треугольника: \(a = 3\) см, \(b = 8\) см. Синус острого угла между ними: \(\sin \gamma = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Найти: третью сторону \(c\). Решение: 1. Для применения теоремы косинусов нам необходимо знать косинус угла между сторонами. Найдем его из основного тригонометрического тождества: \[\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1\] \[\cos^2 \gamma = 1 - \sin^2 \gamma\] 2. Подставим значение синуса: \[\cos^2 \gamma = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\] 3. Так как по условию угол \(\gamma\) является острым, то его косинус положителен: \[\cos \gamma = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0,5\] 4. Теперь воспользуемся теоремой косинусов для нахождения третьей стороны \(c\): \[c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma\] 5. Подставим числовые значения: \[c^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 0,5\] \[c^2 = 9 + 64 - 24\] \[c^2 = 49\] 6. Вычислим длину стороны: \[c = \sqrt{49} = 7\] Ответ: 7 см.