Решение задачи: найти sin γ и радиус описанной окружности треугольника

Дано: Стороны треугольника: \(a = 58\), \(b = 42\), \(c = 40\). Найти: 1) Синус угла \(\gamma\), лежащего напротив стороны \(c\). 2) Радиус описанной окружности \(R\). Решение: 1. Сначала найдем косинус угла \(\gamma\) по теореме косинусов: \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma\] \[40^2 = 58^2 + 42^2 - 2 \cdot 58 \cdot 42 \cdot \cos \gamma\] \[1600 = 3364 + 1764 - 4872 \cdot \cos \gamma\] \[1600 = 5128 - 4872 \cdot \cos \gamma\] 2. Выразим \(\cos \gamma\): \[4872 \cdot \cos \gamma = 5128 - 1600\] \[4872 \cdot \cos \gamma = 3528\] \[\cos \gamma = \frac{3528}{4872}\] Сократим дробь на 168: \[\cos \gamma = \frac{21}{29}\] 3. Найдем синус угла \(\gamma\), используя основное тригонометрическое тождество (\(\sin \gamma > 0\), так как это угол треугольника): \[\sin \gamma = \sqrt{1 - \cos^2 \gamma}\] \[\sin \gamma = \sqrt{1 - \left(\frac{21}{29}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{441}{841}} = \sqrt{\frac{400}{841}}\] \[\sin \gamma = \frac{20}{29}\] 4. Теперь найдем радиус описанной окружности \(R\) по теореме синусов: \[\frac{c}{\sin \gamma} = 2R\] \[R = \frac{c}{2 \cdot \sin \gamma}\] \[R = \frac{40}{2 \cdot \frac{20}{29}} = \frac{40}{\frac{40}{29}} = 40 \cdot \frac{29}{40} = 29\] Ответ: Синус угла: \(\frac{20}{29}\) Радиус: 29