Решение дифференциального уравнения 2y'' - 7y' + 3y = (x+6)e^(9x)

Задание 6. Решить дифференциальное уравнение. Дано дифференциальное уравнение: \[2y'' - 7y' + 3y = f_n(x)\] Где \(f_n(x) = (x + b)e^{ax}\), а параметры заданы в таблице: \(n = 1\) \(a = 9\) \(b = 6\) Подставим значения \(a\) и \(b\) в выражение для \(f_n(x)\): \[f_1(x) = (x + 6)e^{9x}\] Таким образом, нам нужно решить неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: \[2y'' - 7y' + 3y = (x + 6)e^{9x}\] Решение такого уравнения состоит из двух частей: общего решения однородного уравнения \(y_0\) и частного решения неоднородного уравнения \(y_ч\). Общее решение будет иметь вид: \(y = y_0 + y_ч\). 1. Находим общее решение однородного уравнения \(y_0\). Составим характеристическое уравнение для однородного уравнения \(2y'' - 7y' + 3y = 0\): \[2\lambda^2 - 7\lambda + 3 = 0\] Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25\] \[\lambda_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}\] \[\lambda_1 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3\] \[\lambda_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\] Так как корни действительные и различные, общее решение однородного уравнения имеет вид: \[y_0 = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x}\] \[y_0 = C_1e^{3x} + C_2e^{\frac{1}{2}x}\] 2. Находим частное решение неоднородного уравнения \(y_ч\). Правая часть уравнения имеет вид \(f(x) = P_m(x)e^{\alpha x}\), где \(P_m(x) = x + 6\) (многочлен первой степени, то есть \(m=1\)) и \(\alpha = 9\). Проверим, является ли \(\alpha = 9\) корнем характеристического уравнения. \(\lambda_1 = 3\), \(\lambda_2 = \frac{1}{2}\). \(\alpha = 9\) не является корнем характеристического уравнения. Значит, кратность корня \(k = 0\). Частное решение ищем в виде: \[y_ч = Q_m(x)e^{\alpha x}\] Где \(Q_m(x)\) - многочлен той же степени, что и \(P_m(x)\), то есть первой степени: \[y_ч = (Ax + B)e^{9x}\] Найдем первую и вторую производные \(y_ч\): \[y_ч' = A e^{9x} + (Ax + B) \cdot 9e^{9x} = (A + 9Ax + 9B)e^{9x}\] \[y_ч'' = (9A)e^{9x} + (A + 9Ax + 9B) \cdot 9e^{9x} = (9A + 9A + 81Ax + 81B)e^{9x} = (18A + 81Ax + 81B)e^{9x}\] Подставим \(y_ч\), \(y_ч'\), \(y_ч''\) в исходное неоднородное уравнение: \[2(18A + 81Ax + 81B)e^{9x} - 7(A + 9Ax + 9B)e^{9x} + 3(Ax + B)e^{9x} = (x + 6)e^{9x}\] Разделим обе части на \(e^{9x}\) (так как \(e^{9x} \neq 0\)): \[2(18A + 81Ax + 81B) - 7(A + 9Ax + 9B) + 3(Ax + B) = x + 6\] Раскроем скобки: \[36A + 162Ax + 162B - 7A - 63Ax - 63B + 3Ax + 3B = x + 6\] Сгруппируем члены с \(x\) и свободные члены: \[(162A - 63A + 3A)x + (36A + 162B - 7A - 63B + 3B) = x + 6\] \[(102A)x + (29A + 102B) = x + 6\] Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях \(x\): При \(x^1\): \[102A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{102}\] При \(x^0\) (свободные члены): \[29A + 102B = 6\] Подставим значение \(A\): \[29 \cdot \frac{1}{102} + 102B = 6\] \[\frac{29}{102} + 102B = 6\] \[102B = 6 - \frac{29}{102}\] \[102B = \frac{6 \cdot 102 - 29}{102}\] \[102B = \frac{612 - 29}{102}\] \[102B = \frac{583}{102}\] \[B = \frac{583}{102 \cdot 102} = \frac{583}{10404}\] Таким образом, частное решение: \[y_ч = \left(\frac{1}{102}x + \frac{583}{10404}\right)e^{9x}\] 3. Записываем общее решение неоднородного уравнения. \[y = y_0 + y_ч\] \[y = C_1e^{3x} + C_2e^{\frac{1}{2}x} + \left(\frac{1}{102}x + \frac{583}{10404}\right)e^{9x}\] Ответ: Общее решение дифференциального уравнения: \[y = C_1e^{3x} + C_2e^{\frac{1}{2}x} + \left(\frac{1}{102}x + \frac{583}{10404}\right)e^{9x}\]