Решение задачи: Колебания груза на пружине

Дано: \(M = 2,4\) кг (масса коробки) \(m = 215\) г \( = 0,215\) кг (масса груза) \(k = 3000\) Н/м (жёсткость пружины) \(g = 9,8\) м/с\(^2\) Найти: \(A\) — ? Решение: Коробка начнёт подпрыгивать в тот момент, когда сила упругости пружины, направленная вверх, станет равной или больше силы тяжести, действующей на коробку. Условие отрыва коробки от стола: \[F_{упр} = M \cdot g\] Сила упругости пружины при колебаниях груза в верхней точке определяется законом Гука. В этой точке пружина должна быть растянута вверх на величину \(\Delta x\). Однако стоит учесть, что амплитуда \(A\) отсчитывается от положения равновесия груза. В положении равновесия пружина уже растянута под действием веса груза на величину \(x_0\): \[x_0 = \frac{m \cdot g}{k}\] Чтобы коробка подпрыгнула, груз должен подняться выше положения равновесия на амплитуду \(A\). При этом общая деформация пружины (растяжение вверх относительно недеформированного состояния) составит \(A - x_0\). Тогда сила упругости, тянущая коробку вверх, будет: \[F_{упр} = k \cdot (A - x_0)\] Подставим это в условие отрыва: \[k \cdot (A - \frac{m \cdot g}{k}) = M \cdot g\] \[k \cdot A - m \cdot g = M \cdot g\] \[k \cdot A = (M + m) \cdot g\] Отсюда выразим амплитуду \(A\): \[A = \frac{(M + m) \cdot g}{k}\] Подставим числовые значения: \[A = \frac{(2,4 + 0,215) \cdot 9,8}{3000}\] \[A = \frac{2,615 \cdot 9,8}{3000} = \frac{25,627}{3000} \approx 0,008542 \text{ м}\] Переведем значение в сантиметры: \[A \approx 0,008542 \cdot 100 = 0,8542 \text{ см}\] Округляем до целых по условию задачи: \[A \approx 1 \text{ см}\] Ответ: 1 см.