Решение контрольной работы №2. Вариант 1

Контрольная работа №2 «Применение свойств показательной функции» Вариант №1 Задание 1. Решите уравнения а) \( 9^{-5+x} = 729 \) Приведем к основанию 9: \( 9^{-5+x} = 9^3 \) \( -5 + x = 3 \) \( x = 3 + 5 \) \( x = 8 \) Ответ: 8. б) \( (\frac{1}{4})^{4x-10} = \frac{1}{16} \) Приведем к основанию \( \frac{1}{4} \): \( (\frac{1}{4})^{4x-10} = (\frac{1}{4})^2 \) \( 4x - 10 = 2 \) \( 4x = 12 \) \( x = 3 \) Ответ: 3. в) \( 9 \cdot 81^{1-2x} = 27^{2-x} \) Приведем к основанию 3: \( 3^2 \cdot (3^4)^{1-2x} = (3^3)^{2-x} \) \( 3^2 \cdot 3^{4-8x} = 3^{6-3x} \) \( 3^{2+4-8x} = 3^{6-3x} \) \( 6 - 8x = 6 - 3x \) \( -8x + 3x = 6 - 6 \) \( -5x = 0 \) \( x = 0 \) Ответ: 0. г) \( (\frac{1}{2})^{x-6} = 32^x \) Приведем к основанию 2: \( (2^{-1})^{x-6} = (2^5)^x \) \( 2^{-x+6} = 2^{5x} \) \( -x + 6 = 5x \) \( 6x = 6 \) \( x = 1 \) Ответ: 1. д) \( 6^{x^2-9x+20} = 1 \) Так как \( 1 = 6^0 \): \( x^2 - 9x + 20 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 9 \) \( x_1 \cdot x_2 = 20 \) \( x_1 = 4, x_2 = 5 \) Ответ: 4; 5. Задание 2. Решите уравнение методом вынесения общего множителя а) \( 7^{x+2} - 14 \cdot 7^x = 5 \) \( 7^x \cdot 7^2 - 14 \cdot 7^x = 5 \) \( 7^x (49 - 14) = 5 \) \( 7^x \cdot 35 = 5 \) \( 7^x = \frac{5}{35} \) \( 7^x = \frac{1}{7} \) \( 7^x = 7^{-1} \) \( x = -1 \) Ответ: -1. б) \( 5^x - 5^{x-2} = 600 \) \( 5^x - \frac{5^x}{25} = 600 \) \( 5^x (1 - \frac{1}{25}) = 600 \) \( 5^x \cdot \frac{24}{25} = 600 \) \( 5^x = \frac{600 \cdot 25}{24} \) \( 5^x = 25 \cdot 25 \) \( 5^x = 5^4 \) \( x = 4 \) Ответ: 4. Задание 3. Решите уравнение методом замены \( 25^x - 5 = 4 \cdot 5^x \) \( (5^x)^2 - 4 \cdot 5^x - 5 = 0 \) Пусть \( 5^x = t \), где \( t > 0 \). \( t^2 - 4t - 5 = 0 \) По теореме Виета: \( t_1 = 5, t_2 = -1 \) (не подходит, так как \( t > 0 \)). Обратная замена: \( 5^x = 5 \) \( x = 1 \) Ответ: 1. Задание 4. Решите неравенства а) \( 7^{5x-7} \geq 343 \) \( 7^{5x-7} \geq 7^3 \) Так как основание \( 7 > 1 \), знак неравенства сохраняется: \( 5x - 7 \geq 3 \) \( 5x \geq 10 \) \( x \geq 2 \) Ответ: \( [2; +\infty) \). б) \( (\frac{1}{8})^{3x+8} < \frac{1}{64} \) \( (\frac{1}{8})^{3x+8} < (\frac{1}{8})^2 \) Так как основание \( \frac{1}{8} < 1 \), знак неравенства меняется: \( 3x + 8 > 2 \) \( 3x > -6 \) \( x > -2 \) Ответ: \( (-2; +\infty) \). в) \( 6^{2x+5} \leq (\frac{1}{216})^{-x+2} \) \( 6^{2x+5} \leq (6^{-3})^{-x+2} \) \( 6^{2x+5} \leq 6^{3x-6} \) Так как \( 6 > 1 \): \( 2x + 5 \leq 3x - 6 \) \( -x \leq -11 \) \( x \geq 11 \) Ответ: \( [11; +\infty) \). Задание 5. Решите систему уравнений а) \( \begin{cases} x + y = 4 \\ 2^x + 2^y = 10 \end{cases} \) Из первого уравнения: \( y = 4 - x \). Подставим во второе: \( 2^x + 2^{4-x} = 10 \) \( 2^x + \frac{16}{2^x} = 10 \) Пусть \( 2^x = t \): \( t + \frac{16}{t} = 10 \) \( t^2 - 10t + 16 = 0 \) \( t_1 = 8 \Rightarrow 2^x = 8 \Rightarrow x_1 = 3 \). Тогда \( y_1 = 4 - 3 = 1 \). \( t_2 = 2 \Rightarrow 2^x = 2 \Rightarrow x_2 = 1 \). Тогда \( y_2 = 4 - 1 = 3 \). Ответ: (3; 1), (1; 3). б) \( \begin{cases} 3^x + 5^y = 32 \\ 3^x - 5^y = 22 \end{cases} \) Сложим уравнения: \( 2 \cdot 3^x = 54 \) \( 3^x = 27 \) \( x = 3 \) Вычтем из первого уравнения второе: \( 2 \cdot 5^y = 10 \) \( 5^y = 5 \) \( y = 1 \) Ответ: (3; 1).