Решение задачи В3: Электрическое поле и заряды

Задача В3. Дано: \( |q_1| = |q_2| = q = 30 \cdot 10^{-6} \) Кл \( k_0 = 3,0 \) Н/м Пружина в первом случае не деформирована. Во втором случае пружина сжимается вдвое: \( x = \frac{L_0}{2} \). Найти: \( E \) — ? Решение: 1. Рассмотрим первое состояние системы. Шарики имеют заряды \( +q \) и \( -q \). На них действуют силы со стороны внешнего электрического поля \( \vec{E} \) и сила кулоновского притяжения между ними. Пусть положительный заряд находится слева, а отрицательный справа. Внешнее поле \( E \) направлено так, что оно растягивает систему, компенсируя взаимное притяжение зарядов. Условие равновесия для одного шарика (пружина не деформирована, \( F_{упр} = 0 \)): \[ qE = \frac{k \cdot q^2}{L_0^2} \] где \( k = 9 \cdot 10^9 \) Н·м²/Кл² — электрическая постоянная, \( L_0 \) — начальная длина пружины. 2. Рассмотрим второе состояние. Направление внешнего поля \( E \) изменилось на противоположное. Теперь внешнее поле и сила Кулона направлены в одну сторону (внутрь), сжимая пружину. Пружина сжимается вдвое, значит её длина становится \( L = \frac{L_0}{2} \), а деформация \( x = L_0 - \frac{L_0}{2} = \frac{L_0}{2} \). Условие равновесия во втором случае: \[ F_{упр} = qE + F_{кул2} \] \[ k_0 \cdot \frac{L_0}{2} = qE + \frac{k \cdot q^2}{(L_0/2)^2} \] \[ \frac{k_0 L_0}{2} = qE + \frac{4 k q^2}{L_0^2} \] 3. Из первого уравнения выразим \( \frac{k q^2}{L_0^2} = qE \). Подставим это во второе уравнение: \[ \frac{k_0 L_0}{2} = qE + 4 qE \] \[ \frac{k_0 L_0}{2} = 5 qE \] Отсюда выразим длину пружины: \[ L_0 = \frac{10 qE}{k_0} \] 4. Подставим \( L_0 \) обратно в первое уравнение: \[ qE = \frac{k q^2}{(\frac{10 qE}{k_0})^2} \] \[ qE = \frac{k q^2 k_0^2}{100 q^2 E^2} \] \[ E = \frac{k k_0^2}{100 E^2} \] \[ E^3 = \frac{k k_0^2}{100} \] 5. Вычислим значение: \[ E^3 = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot (3,0)^2}{100} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 9}{100} = 81 \cdot 10^7 = 810 \cdot 10^6 \] \[ E = \sqrt[3]{810 \cdot 10^6} \approx 9,32 \cdot 10^2 \text{ В/м} \] Однако, в школьных задачах такого типа часто подразумевается, что силой Кулона можно пренебречь по сравнению с внешними силами, если не задано расстояние. Но здесь расстояние \( L_0 \) связано с равновесием. Перепроверим логику: если пружина не деформирована в первом случае, значит \( F_{внеш} = F_{кул} \). При смене направления поля \( F_{внеш} \) меняет знак. Тогда \( F_{упр} = |-F_{внеш} - F_{кул}| = 2 qE \). \[ k_0 \frac{L_0}{2} = 2 qE \Rightarrow L_0 = \frac{4 qE}{k_0} \] Подставим в \( qE = \frac{k q^2}{L_0^2} \): \[ qE = \frac{k q^2 k_0^2}{16 q^2 E^2} \Rightarrow E^3 = \frac{k k_0^2}{16 q} \] Подставим числа: \[ E^3 = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 9}{16 \cdot 30 \cdot 10^{-6}} = \frac{81 \cdot 10^9}{480 \cdot 10^{-6}} = 0,16875 \cdot 10^{15} \] \[ E = \sqrt[3]{168,75 \cdot 10^{12}} \approx 5,5 \cdot 10^4 \text{ В/м} = 55 \text{ кВ/м} \] Ответ: 55 кВ/м.