Решение задачи B3: Расчет напряженности электрического поля

Задача В3. Дано: \( |q_1| = |q_2| = q = 30 \cdot 10^{-6} \) Кл \( k_0 = 3,0 \) Н/м \( \Delta x_2 = \frac{1}{2} \Delta x_1 \) (по условию сжимается вдвое) Найти: \( E \) — ? Решение: Рассмотрим силы, действующие на один из шариков вдоль линии поля. На шарик действуют: сила со стороны электрического поля \( F_{эл} = qE \), сила Кулоновского взаимодействия между шариками \( F_K = k \frac{q^2}{r^2} \) и сила упругости пружины \( F_{упр} = k_0 \Delta x \). В первом случае пружина не деформирована (\( \Delta x_1 = 0 \)). Это означает, что силы, действующие на шарик, уравновешивают друг друга без участия пружины. Пусть положительный заряд находится "справа", а отрицательный "слева", и поле направлено вправо. Тогда на положительный заряд действует сила поля вправо, а сила Кулоновского притяжения — влево. \[ qE = k \frac{q^2}{l^2} \] где \( l \) — начальная длина пружины. Во втором случае направление поля меняется на противоположное. Теперь сила поля \( qE \) направлена навстречу силе Кулоновского притяжения (они обе стремятся сблизить шарики), и им противодействует сила упругости сжатой пружины. Условие равновесия для второго случая: \[ k_0 \Delta x_2 = qE + k \frac{q^2}{(l - \Delta x_2)^2} \] Так как шарики "небольшие", а изменение расстояния существенно влияет на силу, в школьных задачах такого типа часто подразумевается, что \( \Delta x \) мало по сравнению с \( l \), либо под фразой "сжимается вдвое" имеется в виду сравнение деформаций при разных состояниях. Однако, исходя из текста "пружина не деформирована" в первом состоянии, это означает, что внешнее поле и сила Кулона уже скомпенсированы: \[ qE = F_{K1} \] При смене направления поля на противоположное, сила поля теперь действует в ту же сторону, что и сила Кулона. Чтобы система пришла в равновесие, пружина должна сжаться на величину \( \Delta x \). \[ k_0 \Delta x = qE + F_{K2} \] Обычно в таких задачах предполагается, что изменение расстояния между зарядами пренебрежимо мало для расчета силы Кулона (\( F_{K1} \approx F_{K2} \)), иначе задача становится кубическим уравнением. При \( F_{K1} = qE \): \[ k_0 \Delta x = qE + qE = 2qE \] Отсюда выражаем \( E \): \[ E = \frac{k_0 \Delta x}{2q} \] Однако в условии сказано "сжимается вдвое". Это может трактоваться как \( \Delta x = \frac{l}{2} \). Подставим значения: \[ E = \frac{k_0 \cdot l}{2q} \] Но длина \( l \) не дана. Перечитаем: "пружина не деформирована... при изменении направления... сжимается вдвое". В контексте подобных задач это часто означает, что расстояние между шариками становится \( \frac{l}{2} \), то есть \( \Delta x = \frac{l}{2} \). Тогда из первого уравнения: \( qE = \frac{k q^2}{l^2} \Rightarrow l = \sqrt{\frac{kq}{E}} \). Это приводит к сложному вычислению. Упрощенная школьная интерпретация: если пружина сжимается до половины своей длины, то \( \Delta x = \frac{l}{2} \). Сила упругости: \( F_{упр} = k_0 \frac{l}{2} \). Сила Кулона во втором случае: \( F_{K2} = \frac{kq^2}{(l/2)^2} = 4 \frac{kq^2}{l^2} = 4qE \). Уравнение равновесия: \[ k_0 \frac{l}{2} = qE + 4qE = 5qE \] \[ l = \frac{10qE}{k_0} \] Подставим в \( qE = \frac{kq^2}{l^2} \): \[ qE = \frac{kq^2}{(10qE/k_0)^2} = \frac{kq^2 k_0^2}{100 q^2 E^2} \] \[ E^3 = \frac{k k_0^2}{100 q} \] Подставим константы (\( k = 9 \cdot 10^9 \)): \[ E^3 = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 3^2}{100 \cdot 30 \cdot 10^{-6}} = \frac{81 \cdot 10^9}{3 \cdot 10^{-3}} = 27 \cdot 10^{12} \] \[ E = \sqrt[3]{27 \cdot 10^{12}} = 3 \cdot 10^4 \text{ В/м} = 30 \text{ кВ/м} \] Ответ: 30 кВ/м.