Решение задачи: Колебания коробки с грузом на пружине

Дано: \(M = 9,4 \text{ кг}\) (масса коробки) \(k = 2500 \text{ Н/м}\) \(m = 455 \text{ г} = 0,455 \text{ кг}\) (масса груза) \(g = 9,8 \text{ м/с}^2\) Найти: \(A\) — ? (в см) Решение: Коробка начнет подпрыгивать в тот момент, когда сила упругости пружины \(F_{упр}\), направленная вверх, станет равна или больше силы тяжести, действующей на коробку \(M \cdot g\). В верхней точке колебаний сила упругости пружины определяется деформацией. Пусть \(x_0\) — растяжение пружины в положении равновесия под действием груза \(m\): \[x_0 = \frac{m \cdot g}{k}\] При колебаниях с амплитудой \(A\) максимальное смещение груза вверх от положения равновесия равно \(A\). Тогда деформация пружины в самой верхней точке составит \(\Delta x = A - x_0\) (если \(A > x_0\), пружина будет сжата и будет толкать коробку вверх). Условие отрыва коробки от стола: \[k \cdot (A - x_0) = M \cdot g\] Раскроем скобки: \[k \cdot A - k \cdot x_0 = M \cdot g\] Так как \(k \cdot x_0 = m \cdot g\), подставим это в уравнение: \[k \cdot A - m \cdot g = M \cdot g\] Выразим амплитуду \(A\): \[k \cdot A = (M + m) \cdot g\] \[A = \frac{(M + m) \cdot g}{k}\] Подставим числовые значения: \[A = \frac{(9,4 + 0,455) \cdot 9,8}{2500} = \frac{9,855 \cdot 9,8}{2500} = \frac{96,579}{2500} \approx 0,03863 \text{ м}\] Переведем значение в сантиметры (в 1 м = 100 см): \[A = 0,03863 \cdot 100 = 3,863 \text{ см}\] Округляем до целых по условию задачи: \[A \approx 4 \text{ см}\] Ответ: 4 см.