Решение контрольной работы №3: Применение логарифмов, вариант 2

Контрольная работа №3 «Применение логарифмов к решению задач» Вариант №2 Задание 1. Вычислите логарифм числа а) \( \log_{5} 625 = \log_{5} 5^4 = 4 \) б) \( \log_{7} (\frac{1}{343}) = \log_{7} 7^{-3} = -3 \) в) \( \log_{\sqrt{7}} 49 = \log_{7^{1/2}} 7^2 = 2 \cdot \frac{1}{1/2} = 4 \) г) \( \log_{5} \sqrt[4]{125} = \log_{5} (5^3)^{1/4} = \log_{5} 5^{3/4} = 0,75 \) Задание 2. Используя основное логарифмическое тождество, вычислите а) \( 8^{\log_{8} 15} = 15 \) б) \( 125^{\log_{5} 4} = (5^3)^{\log_{5} 4} = 5^{3 \log_{5} 4} = 5^{\log_{5} 4^3} = 4^3 = 64 \) в) \( 9^{2 + \log_{9} 5} = 9^2 \cdot 9^{\log_{9} 5} = 81 \cdot 5 = 405 \) г) \( (\frac{1}{9})^{-1 - \log_{\frac{1}{9}} 3} = (\frac{1}{9})^{-1} \cdot (\frac{1}{9})^{-\log_{\frac{1}{9}} 3} = 9 \cdot ((\frac{1}{9})^{\log_{\frac{1}{9}} 3})^{-1} = 9 \cdot 3^{-1} = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3 \) Задание 3. Найдите значение выражения а) \( \log_{9} 202,5 - \log_{9} 2,5 = \log_{9} (\frac{202,5}{2,5}) = \log_{9} 81 = 2 \) б) \( \log_{21} 147 + \log_{21} 3 = \log_{21} (147 \cdot 3) = \log_{21} 441 = \log_{21} 21^2 = 2 \) в) \( \frac{\log_{11} 6^{48}}{6 \log_{11} 6} = \frac{48 \log_{11} 6}{6 \log_{11} 6} = \frac{48}{6} = 8 \) г) \( \frac{\log_{34} 5}{\log_{34} 19} + \log_{19} 72,2 = \log_{19} 5 + \log_{19} 72,2 = \log_{19} (5 \cdot 72,2) = \log_{19} 361 = 2 \) Задание 4. Решите уравнения а) \( \log_{13} (4x + 35) = \log_{13} 3 \) \( 4x + 35 = 3 \) \( 4x = -32 \) \( x = -8 \) Проверка: \( 4(-8)+35 = 3 > 0 \). Ответ: -8. б) \( 7^{\log_{16} (8x - 4)} = 7 \) \( \log_{16} (8x - 4) = 1 \) \( 8x - 4 = 16^1 \) \( 8x = 20 \) \( x = 2,5 \) Ответ: 2,5. в) \( \log_{\frac{1}{4}} (-3x + 7) = -2 \) \( -3x + 7 = (\frac{1}{4})^{-2} \) \( -3x + 7 = 16 \) \( -3x = 9 \) \( x = -3 \) Ответ: -3. Задание 5. Решите уравнение методом вынесения общего множителя \( \log_{5} (-6x + 19) \cdot \log_{\frac{1}{3}} x + 3 \log_{5} (-6x + 19) = 0 \) \( \log_{5} (-6x + 19) \cdot (\log_{\frac{1}{3}} x + 3) = 0 \) 1) \( \log_{5} (-6x + 19) = 0 \Rightarrow -6x + 19 = 1 \Rightarrow -6x = -18 \Rightarrow x = 3 \) 2) \( \log_{\frac{1}{3}} x + 3 = 0 \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}} x = -3 \Rightarrow x = (\frac{1}{3})^{-3} \Rightarrow x = 27 \) ОДЗ: \( -6x + 19 > 0 \) и \( x > 0 \). При \( x=27 \) условие \( -6(27)+19 > 0 \) не выполняется. Ответ: 3. Задание 6. Решите уравнение методом введения новой переменной \( \log_{3}^2 x - \log_{3} x - 12 = 0 \) Пусть \( \log_{3} x = t \). \( t^2 - t - 12 = 0 \) По теореме Виета: \( t_1 = 4, t_2 = -3 \). 1) \( \log_{3} x = 4 \Rightarrow x = 3^4 = 81 \) 2) \( \log_{3} x = -3 \Rightarrow x = 3^{-3} = \frac{1}{27} \) Ответ: 81; \( \frac{1}{27} \). Задание 7. Решите логарифмическое неравенство а) \( \log_{\frac{1}{3}} (-2x + 7) \geq -2 \) ОДЗ: \( -2x + 7 > 0 \Rightarrow x < 3,5 \). Так как основание \( \frac{1}{3} < 1 \): \( -2x + 7 \leq (\frac{1}{3})^{-2} \) \( -2x + 7 \leq 9 \) \( -2x \leq 2 \Rightarrow x \geq -1 \) С учетом ОДЗ: \( [-1; 3,5) \). Ответ: \( [-1; 3,5) \). б) \( \log_{5} (4x - 8) > \log_{5} (x + 1) \) Система: \( \begin{cases} 4x - 8 > x + 1 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x > 9 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 3 \\ x > -1 \end{cases} \) Ответ: \( (3; +\infty) \). Задание 8. Решите систему уравнений \( \begin{cases} 3 \log_{2} x + \log_{3} y = 7 \\ \log_{2} x - \log_{3} y = 1 \end{cases} \) Сложим уравнения: \( 4 \log_{2} x = 8 \Rightarrow \log_{2} x = 2 \Rightarrow x = 4 \) Подставим во второе: \( 2 - \log_{3} y = 1 \Rightarrow \log_{3} y = 1 \Rightarrow y = 3 \) Ответ: (4; 3).