Исследование ряда на сходимость: Решение

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы его было удобно переписать в тетрадь школьнику. Задание 7. Исследовать на сходимость указанные ряды с положительными членами. Дан ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{4n} + 2} \] Решение: Для исследования сходимости ряда с положительными членами воспользуемся предельным признаком сравнения. Общий член ряда \(a_n\) равен: \[ a_n = \frac{1}{\sqrt[n]{4n} + 2} \] Рассмотрим поведение \( \sqrt[n]{4n} \) при \( n \to \infty \). Мы знаем, что \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \). Также \( \sqrt[n]{4n} = \sqrt[n]{4} \cdot \sqrt[n]{n} \). Поскольку \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{4} = 1 \) (так как \( \sqrt[n]{c} \to 1 \) при \( n \to \infty \) для любой константы \( c > 0 \)), то: \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{4n} = \lim_{n \to \infty} (\sqrt[n]{4} \cdot \sqrt[n]{n}) = 1 \cdot 1 = 1 \] Теперь найдем предел общего члена ряда \(a_n\) при \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{4n} + 2} = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3} \] Поскольку предел общего члена ряда не равен нулю ( \( \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{3} \neq 0 \) ), то по необходимому признаку сходимости ряда, данный ряд расходится. Необходимый признак сходимости ряда гласит: если ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) сходится, то \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \). Если же \( \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \) или предел не существует, то ряд расходится. В нашем случае, \( \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{3} \neq 0 \), следовательно, ряд расходится. Ответ: Ряд расходится.