Решение задач: энергия колебаний пружинного маятника

Ниже представлено решение задач из вашего изображения, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: \(m = 0,5\) кг \(k = 76\) Н/м \(A = 0,05\) м Найти: \(E\) — ? Решение: Полная механическая энергия пружинного маятника равна максимальной потенциальной энергии деформированной пружины: \[E = \frac{k \cdot A^2}{2}\] Подставим значения: \[E = \frac{76 \cdot 0,05^2}{2} = \frac{76 \cdot 0,0025}{2} = 38 \cdot 0,0025 = 0,095 \text{ Дж}\] Ответ: 0,095 Дж. Задача 2. Дано: \(m = 504 \text{ г} = 0,504\) кг \(\Delta l = 8,8 \text{ см} = 0,088\) м \(A = 91 \text{ см} = 0,91\) м \(g = 9,8 \text{ м/с}^2\) Найти: \(E\) — ? Решение: Сначала найдем жесткость пружины \(k\). В состоянии равновесия сила тяжести уравновешена силой упругости: \[m \cdot g = k \cdot \Delta l \Rightarrow k = \frac{m \cdot g}{\Delta l}\] \[k = \frac{0,504 \cdot 9,8}{0,088} \approx 56 \text{ Н/м}\] Полная энергия колебаний при смещении на амплитуду \(A\): \[E = \frac{k \cdot A^2}{2}\] \[E = \frac{56 \cdot 0,91^2}{2} = 28 \cdot 0,8281 = 23,1868 \text{ Дж}\] Округляем до целых: \(E \approx 23\) Дж. Ответ: 23 Дж. Задача 3. Дано: \(L = 1,2\) м \(t = 0,8 \text{ мин} = 48\) с \(g = 9,8 \text{ м/с}^2\) \(\pi = 3,14\) Найти: \(N_{max}\) — ? Решение: Период колебаний математического маятника: \[T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\] \[T = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{1,2}{9,8}} \approx 6,28 \cdot \sqrt{0,1224} \approx 6,28 \cdot 0,35 \approx 2,2 \text{ с}\] Кинетическая энергия достигает максимума при прохождении положения равновесия. За один период \(T\) маятник проходит положение равновесия 2 раза. Общее число полных колебаний: \[n = \frac{t}{T} = \frac{48}{2,2} \approx 21,8\] Число достижений максимума кинетической энергии: \[N = 2 \cdot n = 2 \cdot 21,8 = 43,6\] Так как нас просят целое число раз за указанный промежуток: Ответ: 43. Задача 4. Дано: \(m = 184 \text{ г} = 0,184\) кг \(k = 16\) Н/м \(E = 495\) Дж \(g = 9,8 \text{ м/с}^2\) \(\pi = 3,14\) Найти: \(A, T, v_{max}\) — ? Решение: 1) Найдем амплитуду \(A\) из формулы энергии: \[E = \frac{k \cdot A^2}{2} \Rightarrow A = \sqrt{\frac{2E}{k}}\] \[A = \sqrt{\frac{2 \cdot 495}{16}} = \sqrt{\frac{990}{16}} = \sqrt{61,875} \approx 7,87 \text{ м}\] 2) Найдем период колебаний \(T\): \[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\] \[T = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{0,184}{16}} = 6,28 \cdot \sqrt{0,0115} \approx 6,28 \cdot 0,107 \approx 0,67 \text{ с}\] 3) Найдем максимальную скорость \(v_{max}\) из формулы кинетической энергии: \[E = \frac{m \cdot v_{max}^2}{2} \Rightarrow v_{max} = \sqrt{\frac{2E}{m}}\] \[v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 495}{0,184}} = \sqrt{\frac{990}{0,184}} \approx \sqrt{5380,43} \approx 73,35 \text{ м/с}\] Ответ: \(A \approx 7,87\) м; \(T \approx 0,67\) с; \(v_{max} \approx 73,35\) м/с.