Вычисление факториалов и сочетаний

Задание 1. Вычислите: а) \(\frac{5!}{2!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{1 \cdot 2} = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60\) б) \(\frac{10!}{8!} = \frac{8! \cdot 9 \cdot 10}{8!} = 9 \cdot 10 = 90\) в) \(\frac{15!}{13! \cdot 2!} = \frac{13! \cdot 14 \cdot 15}{13! \cdot 2} = \frac{14 \cdot 15}{2} = 7 \cdot 15 = 105\) г) \(C_8^6 = \frac{8!}{6! \cdot (8-6)!} = \frac{8!}{6! \cdot 2!} = \frac{7 \cdot 8}{2} = 28\) д) \(C_3^2 \cdot C_6^4 = \frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot \frac{6!}{4! \cdot 2!} = 3 \cdot \frac{5 \cdot 6}{2} = 3 \cdot 15 = 45\) е) \(\frac{C_8^7 \cdot C_9^5}{C_7^3}\) Сначала вычислим элементы: \(C_8^7 = 8\) \(C_9^5 = \frac{9!}{5! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 126\) \(C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 35\) Итого: \(\frac{8 \cdot 126}{35} = \frac{8 \cdot 18}{5} = \frac{144}{5} = 28,8\) Задание 2. Решение по формуле Бернулли: \(P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\) Где \(n = 5\), \(p = 0,7\), \(q = 1 - 0,7 = 0,3\). а) Ровно два раза (\(k=2\)): \(P_5(2) = C_5^2 \cdot (0,7)^2 \cdot (0,3)^3 = 10 \cdot 0,49 \cdot 0,027 = 0,1323\) б) Более трех раз (\(k=4\) или \(k=5\)): \(P_5(4) = C_5^4 \cdot (0,7)^4 \cdot (0,3)^1 = 5 \cdot 0,2401 \cdot 0,3 = 0,36015\) \(P_5(5) = C_5^5 \cdot (0,7)^5 \cdot (0,3)^0 = 1 \cdot 0,16807 \cdot 1 = 0,16807\) \(P = 0,36015 + 0,16807 = 0,52822\) в) Менее двух раз (\(k=0\) или \(k=1\)): \(P_5(0) = C_5^0 \cdot (0,7)^0 \cdot (0,3)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0,00243 = 0,00243\) \(P_5(1) = C_5^1 \cdot (0,7)^1 \cdot (0,3)^4 = 5 \cdot 0,7 \cdot 0,0081 = 0,02835\) \(P = 0,00243 + 0,02835 = 0,03078\) г) Нечетное число раз (\(k=1, 3, 5\)): \(P_5(1) = 0,02835\) \(P_5(3) = C_5^3 \cdot (0,7)^3 \cdot (0,3)^2 = 10 \cdot 0,343 \cdot 0,09 = 0,3087\) \(P_5(5) = 0,16807\) \(P = 0,02835 + 0,3087 + 0,16807 = 0,50512\) д) Не менее трех и не более четырех раз (\(k=3, 4\)): \(P = P_5(3) + P_5(4) = 0,3087 + 0,36015 = 0,66885\) е) Либо четыре раза, либо ни разу (\(k=4, 0\)): \(P = P_5(4) + P_5(0) = 0,36015 + 0,00243 = 0,36258\)