Решение задачи: Абсолютное ускорение точки M

Дано: \[ \omega = 3t \text{ (с}^{-1}\text{)} \] \[ x = 0,2t \text{ (м)} \] \[ \alpha = 30^\circ \] \[ t = 1 \text{ с} \] Найти: \( a_a(1) \) — абсолютное ускорение точки \( M \). Решение: Абсолютное ускорение точки \( M \) при сложном движении определяется по формуле: \[ \vec{a}_a = \vec{a}_r + \vec{a}_e + \vec{a}_c \] где \( \vec{a}_r \) — относительное ускорение, \( \vec{a}_e \) — переносное ускорение, \( \vec{a}_c \) — ускорение Кориолиса. 1. Относительное движение (движение точки вдоль стержня): Скорость: \( v_r = \dot{x} = \frac{d}{dt}(0,2t) = 0,2 \text{ м/с} \). Ускорение: \( a_r = \ddot{x} = \frac{d}{dt}(0,2) = 0 \text{ м/с}^2 \). 2. Переносное движение (вращение стержня): Расстояние от оси вращения до точки \( M \): \( h = x \cdot \sin(\alpha) \). При \( t = 1 \text{ с} \): \( x = 0,2 \cdot 1 = 0,2 \text{ м} \). \( h = 0,2 \cdot \sin(30^\circ) = 0,2 \cdot 0,5 = 0,1 \text{ м} \). Угловая скорость: \( \omega = 3t = 3 \cdot 1 = 3 \text{ рад/с} \). Угловое ускорение: \( \varepsilon = \frac{d\omega}{dt} = 3 \text{ рад/с}^2 \). Переносное ускорение состоит из вращательного и центростремительного: \( a_e^\tau = \varepsilon \cdot h = 3 \cdot 0,1 = 0,3 \text{ м/с}^2 \). \( a_e^n = \omega^2 \cdot h = 3^2 \cdot 0,1 = 0,9 \text{ м/с}^2 \). Общее переносное ускорение: \[ a_e = \sqrt{(a_e^\tau)^2 + (a_e^n)^2} = \sqrt{0,3^2 + 0,9^2} = \sqrt{0,09 + 0,81} = \sqrt{0,9} \approx 0,949 \text{ м/с}^2 \] 3. Ускорение Кориолиса: Формула: \( a_c = 2 \cdot \omega \cdot v_r \cdot \sin(\theta) \), где \( \theta \) — угол между вектором угловой скорости и вектором относительной скорости. В данном случае \( \theta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \) (угол между вертикальной осью вращения и стержнем). \[ a_c = 2 \cdot 3 \cdot 0,2 \cdot \sin(60^\circ) = 1,2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0,6\sqrt{3} \approx 1,039 \text{ м/с}^2 \] 4. Абсолютное ускорение: Так как \( a_r = 0 \), то \( \vec{a}_a = \vec{a}_e^n + \vec{a}_e^\tau + \vec{a}_c \). Векторы \( \vec{a}_e^\tau \) и \( \vec{a}_c \) направлены перпендикулярно плоскости чертежа (в одну сторону), а \( \vec{a}_e^n \) направлен к оси вращения. Суммарное ускорение в плоскости, перпендикулярной оси: \( a_{\perp} = a_e^\tau + a_c = 0,3 + 1,039 = 1,339 \text{ м/с}^2 \). Итоговое абсолютное ускорение: \[ a_a = \sqrt{(a_e^n)^2 + (a_{\perp})^2} = \sqrt{0,9^2 + 1,339^2} = \sqrt{0,81 + 1,793} = \sqrt{2,603} \approx 1,613 \text{ м/с}^2 \] Ответ: \( a_a(1) \approx 1,61 \text{ м/с}^2 \).