Решение задачи: Абсолютное ускорение точки

Дано: \[ R = 0,5 \text{ м} \] \[ \omega = 2t \text{ (с}^{-1}\text{)} \] \[ v_r = 0,1 \text{ м/с} = \text{const} \] \[ \varphi = 30^\circ \] \[ t = 1 \text{ с} \] Найти: \( a_a(1) \) — абсолютное ускорение точки \( M \). Решение: Абсолютное ускорение точки определяется как векторная сумма: \[ \vec{a}_a = \vec{a}_r + \vec{a}_e + \vec{a}_c \] 1. Относительное движение (движение точки по окружности): Так как \( v_r = \text{const} \), то касательное относительное ускорение \( a_r^\tau = 0 \). Относительное ускорение является центростремительным: \[ a_r = a_r^n = \frac{v_r^2}{R} = \frac{0,1^2}{0,5} = \frac{0,01}{0,5} = 0,02 \text{ м/с}^2 \] Вектор \( \vec{a}_r \) направлен к центру окружности. 2. Переносное движение (вращение кольца вокруг вертикальной оси): Расстояние от точки \( M \) до оси вращения: \[ h = R \cdot \cos(30^\circ) = 0,5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,433 \text{ м} \] При \( t = 1 \text{ с} \): Угловая скорость: \( \omega = 2 \cdot 1 = 2 \text{ рад/с} \). Угловое ускорение: \( \varepsilon = \frac{d\omega}{dt} = 2 \text{ рад/с}^2 \). Компоненты переносного ускорения: Центростремительное: \( a_e^n = \omega^2 \cdot h = 2^2 \cdot 0,433 = 1,732 \text{ м/с}^2 \). Вращательное: \( a_e^\tau = \varepsilon \cdot h = 2 \cdot 0,433 = 0,866 \text{ м/с}^2 \). 3. Ускорение Кориолиса: \[ a_c = 2 \cdot \omega \cdot v_r \cdot \sin(\theta) \] Здесь \( \theta \) — угол между вектором угловой скорости (вертикаль) и вектором относительной скорости \( \vec{v}_r \) (касательная к окружности). Из геометрии рисунка этот угол равен \( 30^\circ \). \[ a_c = 2 \cdot 2 \cdot 0,1 \cdot \sin(30^\circ) = 0,4 \cdot 0,5 = 0,2 \text{ м/с}^2 \] Вектор \( \vec{a}_c \) направлен перпендикулярно плоскости кольца (так же, как и \( \vec{a}_e^\tau \)). 4. Модуль абсолютного ускорения: Сложим компоненты по осям. Ось \( z \) (вертикаль): \( a_z = a_r \cdot \sin(30^\circ) = 0,02 \cdot 0,5 = 0,01 \). Ось \( x \) (горизонталь в плоскости кольца): \( a_x = a_e^n + a_r \cdot \cos(30^\circ) = 1,732 + 0,02 \cdot 0,866 \approx 1,749 \). Ось \( y \) (перпендикулярно плоскости): \( a_y = a_e^\tau + a_c = 0,866 + 0,2 = 1,066 \). \[ a_a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = \sqrt{1,749^2 + 1,066^2 + 0,01^2} \] \[ a_a = \sqrt{3,059 + 1,136 + 0,0001} = \sqrt{4,1951} \approx 2,048 \text{ м/с}^2 \] Ответ: \( a_a(1) \approx 2,05 \text{ м/с}^2 \).