Решение задачи №4: Расчет напряжений в стержнях

Задача №4 Дано: \(a = 1\) м \(l = 1,6\) м \(A = 2 \text{ см}^2 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2\) \(F = 10 \text{ кН} = 10^4 \text{ Н}\) \(E = 2 \cdot 10^5 \text{ МПа} = 2 \cdot 10^{11} \text{ Па}\) Определить: напряжения в стержнях \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\). Решение: 1. Составим уравнения равновесия для абсолютно жесткой балки. Обозначим усилия в стержнях (слева направо) как \(N_1, N_2, N_3\). Сумма сил на вертикальную ось: \[ \sum F_y = N_1 + N_2 + N_3 - F = 0 \quad (1) \] Сумма моментов относительно точки крепления первого (левого) стержня: \[ \sum M_1 = F \cdot \frac{a}{2} - N_2 \cdot a - N_3 \cdot 2a = 0 \] Разделим на \(a\): \[ \frac{F}{2} - N_2 - 2N_3 = 0 \implies N_2 + 2N_3 = \frac{F}{2} \quad (2) \] Система статически неопределима, так как уравнений 2, а неизвестных 3. 2. Составим уравнение совместности деформаций. Так как балка жесткая, она остается прямой. Обозначим удлинения стержней как \(\Delta l_1, \Delta l_2, \Delta l_3\). Из подобия треугольников (или линейной зависимости перемещений): \[ \Delta l_2 = \frac{\Delta l_1 + \Delta l_3}{2} \implies 2\Delta l_2 = \Delta l_1 + \Delta l_3 \quad (3) \] Выразим удлинения через закон Гука \(\Delta l = \frac{N \cdot l}{E \cdot A_{ст}}\): \[ \Delta l_1 = \frac{N_1 \cdot l}{E \cdot (2A)} \] \[ \Delta l_2 = \frac{N_2 \cdot l}{E \cdot A} \] \[ \Delta l_3 = \frac{N_3 \cdot l}{E \cdot A} \] Подставим в уравнение (3): \[ 2 \cdot \frac{N_2 \cdot l}{E \cdot A} = \frac{N_1 \cdot l}{2 \cdot E \cdot A} + \frac{N_3 \cdot l}{E \cdot A} \] Сократим на \(\frac{l}{E \cdot A}\): \[ 2N_2 = \frac{N_1}{2} + N_3 \implies N_1 = 4N_2 - 2N_3 \quad (4) \] 3. Решим систему уравнений (1), (2) и (4): Из (2): \(N_2 = \frac{F}{2} - 2N_3\) Подставим в (4): \(N_1 = 4(\frac{F}{2} - 2N_3) - 2N_3 = 2F - 8N_3 - 2N_3 = 2F - 10N_3\) Подставим \(N_1\) и \(N_2\) в (1): \[ (2F - 10N_3) + (\frac{F}{2} - 2N_3) + N_3 = F \] \[ 2,5F - 11N_3 = F \] \[ 11N_3 = 1,5F \implies N_3 = \frac{1,5}{11}F = \frac{3}{22}F \] Находим остальные усилия: \[ N_3 = \frac{3}{22} \cdot 10000 \approx 1363,6 \text{ Н} \] \[ N_2 = \frac{10000}{2} - 2 \cdot 1363,6 = 5000 - 2727,2 = 2272,8 \text{ Н} \] \[ N_1 = 10000 - 2272,8 - 1363,6 = 6363,6 \text{ Н} \] 4. Определим напряжения \(\sigma = \frac{N}{A_{ст}}\): \[ \sigma_1 = \frac{N_1}{2A} = \frac{6363,6}{2 \cdot 2 \cdot 10^{-4}} = 15,9 \cdot 10^6 \text{ Па} = 15,9 \text{ МПа} \] \[ \sigma_2 = \frac{N_2}{A} = \frac{2272,8}{2 \cdot 10^{-4}} = 11,36 \cdot 10^6 \text{ Па} = 11,36 \text{ МПа} \] \[ \sigma_3 = \frac{N_3}{A} = \frac{1363,6}{2 \cdot 10^{-4}} = 6,82 \cdot 10^6 \text{ Па} = 6,82 \text{ МПа} \] Ответ: \(\sigma_1 = 15,9 \text{ МПа}\), \(\sigma_2 = 11,36 \text{ МПа}\), \(\sigma_3 = 6,82 \text{ МПа}\).