Решение задачи №12: Определение напряжений в стержнях

Задача №12 Дано: \( a = 1 \, \text{м} \) \( l = 1,6 \, \text{м} \) \( A = 3 \, \text{см}^2 = 3 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 \) \( \Delta t = -20^\circ\text{C} \) \( \alpha = 1 \cdot 10^{-5} \, \text{град}^{-1} \) \( E = 2 \cdot 10^5 \, \text{МПа} = 2 \cdot 10^{11} \, \text{Па} \) Определить: \( \sigma_1, \sigma_2 \) — напряжения в стержнях. Решение: 1. Геометрия системы. Длина первого (вертикального) стержня: \( l_1 = l = 1,6 \, \text{м} \). Длина второго (наклонного) стержня: \[ l_2 = \sqrt{l^2 + a^2} = \sqrt{1,6^2 + 1^2} = \sqrt{2,56 + 1} = \sqrt{3,56} \approx 1,887 \, \text{м} \] Угол наклона второго стержня к горизонту \( \beta \): \[ \sin \beta = \frac{l}{l_2} = \frac{1,6}{1,887} \approx 0,848 \] \[ \cos \beta = \frac{a}{l_2} = \frac{1}{1,887} \approx 0,530 \] 2. Уравнение равновесия. Рассмотрим сумму моментов сил относительно шарнира крепления балки (левая точка): \[ \sum M = 0 \Rightarrow N_1 \cdot 1,5a + (N_2 \cdot \sin \beta) \cdot 2,5a = 0 \] Разделим на \( a \): \[ 1,5 N_1 + 2,5 N_2 \sin \beta = 0 \quad (1) \] 3. Уравнение совместности деформаций. При охлаждении стержни укорачиваются, вызывая поворот балки на малый угол \( \varphi \). Из подобия треугольников перемещений: \[ \frac{\Delta l_1}{1,5a} = \frac{\Delta l_{2v}}{2,5a} \Rightarrow \Delta l_1 = 0,6 \Delta l_{2v} \] Где \( \Delta l_{2v} \) — вертикальная проекция перемещения конца второго стержня. Полное удлинение второго стержня \( \Delta l_2 = \Delta l_{2v} \cdot \sin \beta \). Следовательно: \[ \Delta l_1 = \frac{1,5}{2,5 \sin \beta} \Delta l_2 = \frac{0,6}{\sin \beta} \Delta l_2 \quad (2) \] 4. Физические уравнения. Полное изменение длины каждого стержня складывается из температурного и силового: \[ \Delta l_1 = \frac{N_1 l_1}{E A} + \alpha \Delta t l_1 \] \[ \Delta l_2 = \frac{N_2 l_2}{E (2A)} + \alpha \Delta t l_2 \] Подставим их в уравнение (2): \[ \frac{N_1 l_1}{E A} + \alpha \Delta t l_1 = \frac{0,6}{\sin \beta} \left( \frac{N_2 l_2}{2 E A} + \alpha \Delta t l_2 \right) \] Учитывая, что \( \frac{l_2}{\sin \beta} = \frac{l_1}{\sin^2 \beta} \), и сокращая на \( l_1 \): \[ \frac{N_1}{E A} + \alpha \Delta t = \frac{0,6}{\sin \beta} \left( \frac{N_2 l_2}{2 E A l_1} + \alpha \Delta t \frac{l_2}{l_1} \right) \] Выразим \( N_1 \) через \( N_2 \) из уравнения (1): \( N_1 = - \frac{2,5 \sin \beta}{1,5} N_2 = - \frac{5 \sin \beta}{3} N_2 \). Подставляя значения и решая систему уравнений относительно напряжений \( \sigma = \frac{N}{F} \): Для первого стержня: \( \sigma_1 = \frac{N_1}{A} \) Для второго стержня: \( \sigma_2 = \frac{N_2}{2A} \) После подстановки численных данных: \( \sin \beta = 0,848 \) \( \Delta t = -20 \) \( \alpha \Delta t = -2 \cdot 10^{-4} \) Из уравнения (1): \( \sigma_1 \cdot A \cdot 1,5 + \sigma_2 \cdot 2A \cdot \sin \beta \cdot 2,5 = 0 \) \[ 1,5 \sigma_1 + 5 \sin \beta \sigma_2 = 0 \Rightarrow \sigma_1 = - \frac{5 \cdot 0,848}{1,5} \sigma_2 \approx -2,827 \sigma_2 \] Подставляя в деформации: \[ \frac{\sigma_1}{E} + \alpha \Delta t = \frac{0,6}{\sin \beta} \left( \frac{\sigma_2 l_2}{E l_1} + \alpha \Delta t \frac{l_2}{l_1} \right) \] \[ \frac{-2,827 \sigma_2}{2 \cdot 10^5} - 2 \cdot 10^{-4} = \frac{0,6}{0,848} \left( \frac{\sigma_2 \cdot 1,887}{2 \cdot 10^5 \cdot 1,6} - 2 \cdot 10^{-4} \cdot \frac{1,887}{1,6} \right) \] \[ -1,41 \cdot 10^{-5} \sigma_2 - 2 \cdot 10^{-4} = 0,707 (0,59 \cdot 10^{-5} \sigma_2 - 2,36 \cdot 10^{-4}) \] \[ -1,41 \cdot 10^{-5} \sigma_2 - 2 \cdot 10^{-4} = 0,417 \cdot 10^{-5} \sigma_2 - 1,67 \cdot 10^{-4} \] \[ -1,827 \cdot 10^{-5} \sigma_2 = 0,33 \cdot 10^{-4} \] \[ \sigma_2 \approx -1,81 \, \text{МПа} \] \[ \sigma_1 = -2,827 \cdot (-1,81) \approx 5,12 \, \text{МПа} \] Ответ: \( \sigma_1 \approx 5,12 \, \text{МПа} \), \( \sigma_2 \approx -1,81 \, \text{МПа} \).