Решение задачи №22: Расчет вала на прочность и жесткость

Задача №22. Расчет вала на прочность и жесткость. Дано: \(M = 10 \text{ кН} \cdot \text{м} = 10^4 \text{ Н} \cdot \text{м}\) \(G = 10^5 \text{ МПа} = 10^{11} \text{ Па}\) \(\tau_{adm} = 50 \text{ МПа} = 50 \cdot 10^6 \text{ Па}\) \(\theta_{adm} = 0,02 \text{ рад/м}\) \(a = 0,5 \text{ м}\) Решение: 1. Определение крутящих моментов на участках вала. Вал жестко защемлен с двух сторон. Это статически неопределимая задача. Обозначим реактивный момент в левой опоре как \(M_A\), в правой — \(M_B\). Сумма моментов: \[M_A - M + 2M - M - M_B = 0 \Rightarrow M_A = M_B\] Из условий симметрии и жесткости заделок для данной схемы: На первом участке (длиной \(a\)): \(T_1 = M_A\) На втором участке (длиной \(2a\)): \(T_2 = M_A - M\) На третьем участке (длиной \(a\)): \(T_3 = M_A - M + 2M = M_A + M\) На четвертом участке (длиной \(a\)): \(T_4 = M_A + M - M = M_A\) Для статически неопределимого вала угол закручивания между опорами равен нулю: \[\sum \frac{T_i \cdot l_i}{G \cdot I_p} = 0\] \[M_A \cdot a + (M_A - M) \cdot 2a + (M_A + M) \cdot a + M_A \cdot a = 0\] \[M_A + 2M_A - 2M + M_A + M + M_A = 0\] \[5M_A = M \Rightarrow M_A = 0,2M\] Максимальный крутящий момент на валу (по модулю): \[T_{max} = |M_A + M| = |0,2M + M| = 1,2M\] \[T_{max} = 1,2 \cdot 10 \text{ кН} \cdot \text{м} = 12 \text{ кН} \cdot \text{м} = 12000 \text{ Н} \cdot \text{м}\] 2. Расчет диаметра из условия прочности. Условие прочности по касательным напряжениям: \[\tau_{max} = \frac{T_{max}}{W_p} \le \tau_{adm}\] Для круглого сечения полярный момент сопротивления \(W_p = \frac{\pi d^3}{16} \approx 0,2 d^3\). \[d_1 \ge \sqrt[3]{\frac{T_{max}}{0,2 \cdot \tau_{adm}}}\] \[d_1 \ge \sqrt[3]{\frac{12000}{0,2 \cdot 50 \cdot 10^6}} = \sqrt[3]{0,0012} \approx 0,106 \text{ м} = 106 \text{ мм}\] 3. Расчет диаметра из условия жесткости. Условие жесткости по относительному углу закручивания: \[\theta_{max} = \frac{T_{max}}{G \cdot I_p} \le \theta_{adm}\] Для круглого сечения полярный момент инерции \(I_p = \frac{\pi d^4}{32} \approx 0,1 d^4\). \[d_2 \ge \sqrt[4]{\frac{T_{max}}{0,1 \cdot G \cdot \theta_{adm}}}\] \[d_2 \ge \sqrt[4]{\frac{12000}{0,1 \cdot 10^{11} \cdot 0,02}} = \sqrt[4]{\frac{12000}{2 \cdot 10^8}} = \sqrt[4]{0,00006} \approx 0,088 \text{ м} = 88 \text{ мм}\] 4. Выбор окончательного диаметра. Из двух полученных значений выбираем большее, чтобы удовлетворить обоим условиям: \[d = \max(d_1, d_2) = 106 \text{ мм}\] Принимаем стандартное значение диаметра вала \(d = 110 \text{ мм}\). Ответ: \(d = 110 \text{ мм}\).