Задача №5: Определение напряжений в стержнях

Задача №5 Дано: \( a = 1 \, \text{м} \) \( l = 1,6 \, \text{м} \) \( A = 2 \, \text{см}^2 = 2 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 \) \( \Delta t = 20^\circ \text{C} \) \( \alpha = 1,2 \cdot 10^{-5} \, \text{град}^{-1} \) \( E = 2 \cdot 10^5 \, \text{МПа} = 2 \cdot 10^{11} \, \text{Па} \) Определить напряжения в стержнях \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \). Решение: 1. Система является статически неопределимой. Составим уравнения равновесия для жесткой балки. Обозначим усилия в стержнях как \( N_1, N_2, N_3 \). Сумма сил на вертикальную ось: \[ \sum F_y = N_1 + N_2 + N_3 = 0 \] Сумма моментов относительно центрального стержня (точка крепления \( N_2 \)): \[ \sum M_2 = -N_1 \cdot a + N_3 \cdot a = 0 \implies N_1 = N_3 \] Подставим в первое уравнение: \[ 2N_1 + N_2 = 0 \implies N_2 = -2N_1 \] 2. Составим уравнение совместности деформаций. Так как балка жесткая и закреплена симметрично, она будет перемещаться параллельно самой себе. Следовательно, удлинения всех стержней равны: \[ \Delta l_1 = \Delta l_2 = \Delta l_3 \] 3. Выразим удлинения стержней через температурную и силовую составляющие. Заметим, что нагревается только третий стержень (на нем указано \( \Delta t \)): \[ \Delta l_1 = \frac{N_1 \cdot l}{E \cdot A} \] \[ \Delta l_2 = \frac{N_2 \cdot l}{E \cdot (2A)} \] \[ \Delta l_3 = \frac{N_3 \cdot l}{E \cdot A} + \alpha \cdot \Delta t \cdot l \] 4. Используем равенство \( \Delta l_1 = \Delta l_2 \): \[ \frac{N_1 \cdot l}{E \cdot A} = \frac{N_2 \cdot l}{2EA} \implies N_1 = \frac{N_2}{2} \] Это подтверждает наше уравнение равновесия \( N_2 = 2N_1 \) (по модулю). 5. Используем равенство \( \Delta l_1 = \Delta l_3 \): \[ \frac{N_1 \cdot l}{EA} = \frac{N_3 \cdot l}{EA} + \alpha \cdot \Delta t \cdot l \] Так как \( N_1 = N_3 \), из этого уравнения следует, что при одинаковых жесткостях и нагреве только одного стержня, система придет в равновесие за счет внутренних усилий. Подставим \( N_2 = -2N_1 \) и \( N_3 = N_1 \) в уравнение деформаций для всей системы. Из-за симметрии и жесткости балки: \[ \Delta l_1 = \Delta l_2 \implies \frac{N_1 l}{EA} = \frac{-2N_1 l}{2EA} \implies N_1 = -N_1 \implies N_1 = 0? \] Нет, балка сместится на величину \( \delta \). \[ \delta = \frac{N_1 l}{EA} = \frac{N_2 l}{2EA} = \frac{N_3 l}{EA} + \alpha \Delta t l \] Из \( \frac{N_1 l}{EA} = \frac{N_2 l}{2EA} \) имеем \( N_2 = 2N_1 \). Из уравнения равновесия \( N_1 + N_2 + N_3 = 0 \): \[ N_1 + 2N_1 + N_3 = 0 \implies N_3 = -3N_1 \] Подставим в уравнение перемещений: \[ \frac{N_1 l}{EA} = \frac{-3N_1 l}{EA} + \alpha \Delta t l \] \[ \frac{4N_1 l}{EA} = \alpha \Delta t l \implies N_1 = \frac{\alpha \cdot \Delta t \cdot E \cdot A}{4} \] 6. Вычислим значения усилий: \[ N_1 = \frac{1,2 \cdot 10^{-5} \cdot 20 \cdot 2 \cdot 10^{11} \cdot 2 \cdot 10^{-4}}{4} = \frac{9,6}{4} = 2,4 \, \text{кН} \] \[ N_2 = 2N_1 = 4,8 \, \text{кН} \] \[ N_3 = -3N_1 = -7,2 \, \text{кН} \] 7. Определим напряжения \( \sigma = \frac{N}{A_{fact}} \): \[ \sigma_1 = \frac{N_1}{A} = \frac{2400}{2 \cdot 10^{-4}} = 12 \cdot 10^6 \, \text{Па} = 12 \, \text{МПа} \] \[ \sigma_2 = \frac{N_2}{2A} = \frac{4800}{4 \cdot 10^{-4}} = 12 \cdot 10^6 \, \text{Па} = 12 \, \text{МПа} \] \[ \sigma_3 = \frac{N_3}{A} = \frac{-7200}{2 \cdot 10^{-4}} = -36 \cdot 10^6 \, \text{Па} = -36 \, \text{МПа} \] Ответ: \( \sigma_1 = 12 \, \text{МПа} \), \( \sigma_2 = 12 \, \text{МПа} \), \( \sigma_3 = -36 \, \text{МПа} \).