Решение задачи №4. Определение напряжений в стержнях

Задача №4. Определение напряжений в стержнях. Дано: \(a = 1\) м \(l = 1,6\) м \(A = 2 \text{ см}^2 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2\) \(F = 10 \text{ кН} = 10^4 \text{ Н}\) \(E = 2 \cdot 10^5 \text{ МПа} = 2 \cdot 10^{11} \text{ Па}\) Решение: 1. Статическая сторона задачи. Рассмотрим равновесие абсолютно жесткой балки. Обозначим усилия в стержнях (слева направо) как \(N_1\), \(N_2\) и \(N_3\). Составим уравнения равновесия: Сумма сил на вертикальную ось: \[ \sum F_y = N_1 + N_2 + N_3 - F = 0 \quad (1) \] Сумма моментов относительно точки крепления первого (левого) стержня: \[ \sum M_1 = -F \cdot \frac{a}{2} + N_2 \cdot a + N_3 \cdot 2a = 0 \] Разделим на \(a\): \[ N_2 + 2N_3 = \frac{F}{2} \quad (2) \] Система статически неопределима, так как имеем 2 уравнения и 3 неизвестных. 2. Геометрическая сторона задачи (уравнение совместности деформаций). Так как балка абсолютно жесткая, она при деформации остается прямой линией. Обозначим удлинения стержней как \(\Delta l_1\), \(\Delta l_2\) и \(\Delta l_3\). Из подобия треугольников (или линейной зависимости перемещений): \[ \Delta l_2 = \frac{\Delta l_1 + \Delta l_3}{2} \quad \text{или} \quad 2\Delta l_2 = \Delta l_1 + \Delta l_3 \quad (3) \] 3. Физическая сторона задачи (закон Гука). \[ \Delta l = \frac{N \cdot l}{E \cdot A_{ст}} \] Для каждого стержня (учитывая площади \(2A\), \(A\) и \(A\)): \[ \Delta l_1 = \frac{N_1 \cdot l}{E \cdot 2A} \] \[ \Delta l_2 = \frac{N_2 \cdot l}{E \cdot A} \] \[ \Delta l_3 = \frac{N_3 \cdot l}{E \cdot A} \] Подставим эти выражения в уравнение (3): \[ 2 \cdot \frac{N_2 \cdot l}{E \cdot A} = \frac{N_1 \cdot l}{2EA} + \frac{N_3 \cdot l}{EA} \] Сократим на \(\frac{l}{EA}\): \[ 2N_2 = \frac{N_1}{2} + N_3 \implies N_1 = 4N_2 - 2N_3 \quad (4) \] 4. Решение системы уравнений. Подставим (4) в уравнение (1): \[ (4N_2 - 2N_3) + N_2 + N_3 = F \implies 5N_2 - N_3 = F \quad (5) \] Теперь имеем систему из (2) и (5): \[ \begin{cases} N_2 + 2N_3 = 0,5F \\ 5N_2 - N_3 = F \end{cases} \] Из второго уравнения: \(N_3 = 5N_2 - F\). Подставим в первое: \[ N_2 + 2(5N_2 - F) = 0,5F \implies N_2 + 10N_2 - 2F = 0,5F \implies 11N_2 = 2,5F \] \[ N_2 = \frac{2,5}{11} F = \frac{2,5 \cdot 10}{11} \approx 2,27 \text{ кН} \] Находим остальные усилия: \[ N_3 = 5 \cdot 2,27 - 10 = 11,35 - 10 = 1,35 \text{ кН} \] \[ N_1 = F - N_2 - N_3 = 10 - 2,27 - 1,35 = 6,38 \text{ кН} \] 5. Определение напряжений. Напряжение вычисляется по формуле \(\sigma = \frac{N}{A_{ст}}\). Для 1-го стержня (площадь \(2A = 4 \text{ см}^2\)): \[ \sigma_1 = \frac{6,38 \cdot 10^3}{4 \cdot 10^{-4}} = 1,595 \cdot 10^7 \text{ Па} = 15,95 \text{ МПа} \] Для 2-го стержня (площадь \(A = 2 \text{ см}^2\)): \[ \sigma_2 = \frac{2,27 \cdot 10^3}{2 \cdot 10^{-4}} = 1,135 \cdot 10^7 \text{ Па} = 11,35 \text{ МПа} \] Для 3-го стержня (площадь \(A = 2 \text{ см}^2\)): \[ \sigma_3 = \frac{1,35 \cdot 10^3}{2 \cdot 10^{-4}} = 0,675 \cdot 10^7 \text{ Па} = 6,75 \text{ МПа} \] Ответ: \(\sigma_1 = 15,95\) МПа; \(\sigma_2 = 11,35\) МПа; \(\sigma_3 = 6,75\) МПа.