Задача 229: Определение Высоты, где g = 5 м/с²

Задача 229. Определите, на какой высоте от поверхности Земли ускорение свободного падения равно 5 м/с². Радиус Земли 6400 км. Ускорение свободного падения на поверхности Земли считать равным 10 м/с². Решение: Запишем, что нам дано в задаче: Дано: Ускорение свободного падения на высоте \(h\): \(g_h = 5 \text{ м/с}^2\) Радиус Земли: \(R = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м}\) Ускорение свободного падения на поверхности Земли: \(g = 10 \text{ м/с}^2\) Найти: Высоту \(h\) Для решения задачи воспользуемся формулой для ускорения свободного падения на высоте \(h\) над поверхностью Земли: \[g_h = G \frac{M}{(R+h)^2}\] где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Земли, \(R\) - радиус Земли, \(h\) - высота над поверхностью Земли. Ускорение свободного падения на поверхности Земли можно записать как: \[g = G \frac{M}{R^2}\] Из второго уравнения выразим произведение \(GM\): \[GM = g R^2\] Подставим это выражение для \(GM\) в формулу для \(g_h\): \[g_h = \frac{g R^2}{(R+h)^2}\] Теперь выразим из этой формулы \(R+h\): \[(R+h)^2 = \frac{g R^2}{g_h}\] Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: \[R+h = \sqrt{\frac{g R^2}{g_h}}\] \[R+h = R \sqrt{\frac{g}{g_h}}\] И, наконец, выразим высоту \(h\): \[h = R \sqrt{\frac{g}{g_h}} - R\] \[h = R \left( \sqrt{\frac{g}{g_h}} - 1 \right)\] Подставим числовые значения: \[h = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} \left( \sqrt{\frac{10 \text{ м/с}^2}{5 \text{ м/с}^2}} - 1 \right)\] \[h = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} \left( \sqrt{2} - 1 \right)\] Примем \(\sqrt{2} \approx 1.414\). \[h = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} (1.414 - 1)\] \[h = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} \cdot 0.414\] \[h = 2649.6 \cdot 10^3 \text{ м}\] \[h = 2649.6 \text{ км}\] Округлим до целых километров: \[h \approx 2650 \text{ км}\] Ответ: Высота, на которой ускорение свободного падения равно 5 м/с², составляет примерно 2650 км.