Решение: Исследование сходимости ряда ∑ (-1)^n * ln(n-1)/(n+6)

Решение задачи: Задание 8. Исследовать на сходимость, установить – условно или абсолютно сходится данный ряд. Дан ряд: \[ \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{\ln(n - 1)}{n + 6} \] Это знакопеременный ряд. Для исследования его сходимости сначала рассмотрим ряд из абсолютных величин. Шаг 1. Исследуем ряд из абсолютных величин на сходимость. Ряд из абсолютных величин имеет вид: \[ \sum_{n=2}^{\infty} \left| (-1)^n \frac{\ln(n - 1)}{n + 6} \right| = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(n - 1)}{n + 6} \] Обозначим общий член этого ряда как \(a_n = \frac{\ln(n - 1)}{n + 6}\). Для исследования сходимости этого ряда воспользуемся предельным признаком сравнения. Сравним его с расходящимся гармоническим рядом \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \). Найдем предел отношения \(a_n\) к \(b_n = \frac{1}{n}\) при \(n \to \infty\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\ln(n - 1)}{n + 6}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n \ln(n - 1)}{n + 6} \] Разделим числитель и знаменатель на \(n\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n - 1)}{1 + \frac{6}{n}} \] При \(n \to \infty\), \(1 + \frac{6}{n} \to 1\), а \(\ln(n - 1) \to \infty\). Следовательно, \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n \ln(n - 1)}{n + 6} = \infty \] Поскольку предел равен бесконечности, и ряд \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \) расходится, то по предельному признаку сравнения ряд \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(n - 1)}{n + 6} \) также расходится. Это означает, что исходный ряд не сходится абсолютно. Шаг 2. Исследуем исходный знакопеременный ряд на условную сходимость с помощью признака Лейбница. Ряд имеет вид \( \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n b_n \), где \( b_n = \frac{\ln(n - 1)}{n + 6} \). Для применения признака Лейбница необходимо проверить два условия: 1. \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \) 2. Последовательность \(b_n\) является монотонно убывающей (начиная с некоторого \(n\)). Проверим первое условие: \[ \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n - 1)}{n + 6} \] Это предел вида \( \frac{\infty}{\infty} \), поэтому можно применить правило Лопиталя. Возьмем производные числителя и знаменателя по \(n\): Производная числителя: \( (\ln(n - 1))' = \frac{1}{n - 1} \) Производная знаменателя: \( (n + 6)' = 1 \) \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n - 1}}{1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n - 1} = 0 \] Первое условие признака Лейбница выполнено. Проверим второе условие: монотонность убывания \(b_n\). Для этого рассмотрим производную функции \( f(x) = \frac{\ln(x - 1)}{x + 6} \) при \(x \ge 2\). \[ f'(x) = \frac{\frac{1}{x - 1}(x + 6) - \ln(x - 1) \cdot 1}{(x + 6)^2} = \frac{\frac{x + 6}{x - 1} - \ln(x - 1)}{(x + 6)^2} \] Знаменатель \( (x + 6)^2 \) всегда положителен. Рассмотрим числитель: \( g(x) = \frac{x + 6}{x - 1} - \ln(x - 1) \). При \(x = 2\), \(g(2) = \frac{2 + 6}{2 - 1} - \ln(2 - 1) = \frac{8}{1} - \ln(1) = 8 - 0 = 8 > 0\). При \(x = 3\), \(g(3) = \frac{3 + 6}{3 - 1} - \ln(3 - 1) = \frac{9}{2} - \ln(2) = 4.5 - 0.693 \approx 3.807 > 0\). При \(x = 4\), \(g(4) = \frac{4 + 6}{4 - 1} - \ln(4 - 1) = \frac{10}{3} - \ln(3) \approx 3.333 - 1.098 \approx 2.235 > 0\). При \(x = 5\), \(g(5) = \frac{5 + 6}{5 - 1} - \ln(5 - 1) = \frac{11}{4} - \ln(4) = 2.75 - 1.386 \approx 1.364 > 0\). При \(x = 6\), \(g(6) = \frac{6 + 6}{6 - 1} - \ln(6 - 1) = \frac{12}{5} - \ln(5) = 2.4 - 1.609 \approx 0.791 > 0\). При \(x = 7\), \(g(7) = \frac{7 + 6}{7 - 1} - \ln(7 - 1) = \frac{13}{6} - \ln(6) \approx 2.167 - 1.792 \approx 0.375 > 0\). При \(x = 8\), \(g(8) = \frac{8 + 6}{8 - 1} - \ln(8 - 1) = \frac{14}{7} - \ln(7) = 2 - 1.946 \approx 0.054 > 0\). При \(x = 9\), \(g(9) = \frac{9 + 6}{9 - 1} - \ln(9 - 1) = \frac{15}{8} - \ln(8) = 1.875 - 2.079 \approx -0.204 < 0\). Таким образом, \(f'(x)\) становится отрицательной примерно при \(x \ge 9\). Это означает, что последовательность \(b_n\) монотонно убывает, начиная с \(n = 9\). Для признака Лейбница достаточно, чтобы монотонность убывания начиналась с некоторого \(n\). Оба условия признака Лейбница выполнены. Следовательно, исходный знакопеременный ряд сходится. Шаг 3. Вывод о типе сходимости. Поскольку ряд из абсолютных величин расходится, а сам знакопеременный ряд сходится, то данный ряд сходится условно. Ответ: Ряд сходится условно.