Решение задачи: 225_x = 415_y

Задание 2 Условие: Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления \(x\), при котором выполняется равенство: \[225_x = 415_y\] Ответ записать в виде целого числа. Решение: 1. Переведем числа из систем счисления с основаниями \(x\) и \(y\) в десятичную систему счисления: \[2 \cdot x^2 + 2 \cdot x + 5 = 4 \cdot y^2 + 1 \cdot y + 5\] 2. Упростим уравнение, вычтя 5 из обеих частей: \[2x^2 + 2x = 4y^2 + y\] \[2x(x + 1) = y(4y + 1)\] 3. Определим ограничения на основания систем счисления. В записи числа \(225_x\) максимальная цифра 5, значит \(x > 5\). В записи числа \(415_y\) максимальная цифра 5, значит \(y > 5\). 4. Заметим, что левая часть уравнения \(2x^2 + 2x\) — четное число. Следовательно, правая часть \(y(4y + 1)\) тоже должна быть четной. Так как выражение \((4y + 1)\) всегда нечетное при любом целом \(y\), то само число \(y\) обязано быть четным. 5. Начнем подбор минимального \(y\), учитывая, что \(y > 5\) и \(y\) — четное: Пусть \(y = 6\). Подставим в уравнение: \[2x^2 + 2x = 6 \cdot (4 \cdot 6 + 1)\] \[2x^2 + 2x = 6 \cdot 25\] \[2x^2 + 2x = 150\] Разделим на 2: \[x^2 + x - 75 = 0\] Дискриминант \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-75) = 1 + 300 = 301\). Корень из 301 не является целым числом, значит \(y = 6\) не подходит. 6. Пусть \(y = 8\): \[2x^2 + 2x = 8 \cdot (4 \cdot 8 + 1)\] \[2x^2 + 2x = 8 \cdot 33\] \[2x^2 + 2x = 264\] Разделим на 2: \[x^2 + x - 132 = 0\] По теореме Виета или через дискриминант найдем корни: \(D = 1 + 4 \cdot 132 = 529 = 23^2\) \[x = \frac{-1 + 23}{2} = \frac{22}{2} = 11\] Второй корень отрицательный, его не рассматриваем. 7. Проверим условия: \(x = 11\) и \(y = 8\). Оба значения больше 5, что соответствует правилам систем счисления. Так как мы искали минимальное четное \(y\), начиная с наименьшего возможного, найденное \(x = 11\) будет наименьшим подходящим основанием. Ответ: 11