Решение Задания 5: Число 271 в системе счисления с основанием N

Задание 5 Условие: Запись числа 271 в системе счисления с основанием \(N\) содержит 3 цифры и оканчивается на 1. Чему равно максимально возможное основание системы счисления? Решение: 1. Если запись числа в системе счисления с основанием \(N\) оканчивается на 1, это означает, что остаток от деления числа 271 на \(N\) равен 1. Запишем это в виде уравнения: \[271 = k \cdot N + 1\] Где \(k\) — некоторое целое число. Отсюда: \[k \cdot N = 270\] Это значит, что основание \(N\) должно быть делителем числа 270. 2. По условию в записи числа ровно 3 цифры. Это накладывает ограничение на величину основания \(N\). Трехзначное число в системе \(N\) находится в диапазоне: \[N^2 \le 271 < N^3\] 3. Нам нужно найти максимально возможное \(N\). Рассмотрим левую часть неравенства: \[N^2 \le 271\] Найдем целое число, квадрат которого максимально близок к 271, но не превышает его: \[16^2 = 256\] \[17^2 = 289\] Следовательно, \(N\) должно быть меньше или равно 16. 4. Теперь выпишем делители числа 270, которые меньше или равны 16: Делители 270: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18... Наибольший делитель, удовлетворяющий условию \(N \le 16\), — это число 15. 5. Проверим число \(N = 15\): Переведем 271 в систему с основанием 15: \[271 / 15 = 18 \text{ (остаток 1)}\] \[18 / 15 = 1 \text{ (остаток 3)}\] \[1 / 15 = 0 \text{ (остаток 1)}\] Получаем число \(131_{15}\). В нем ровно 3 цифры, и оно оканчивается на 1. Условие выполняется. 6. Проверим следующий делитель 10: он меньше 15, поэтому максимальным останется 15. Делитель 18 не подходит, так как \(18^2 = 324\), что больше 271 (число было бы двухзначным). Ответ: 15