Решение уравнения 103_x + 21_x = 84

Задание 6 Условие: Решите уравнение: \[103_x + 21_x = 84\] Ответ запишите в двоичной системе счисления. Решение: 1. Переведем числа из системы счисления с основанием \(x\) в десятичную систему. Число 84 в правой части уравнения по умолчанию считается десятичным, так как основание не указано. \[(1 \cdot x^2 + 0 \cdot x^1 + 3 \cdot x^0) + (2 \cdot x^1 + 1 \cdot x^0) = 84\] 2. Упростим полученное выражение: \[x^2 + 3 + 2x + 1 = 84\] \[x^2 + 2x + 4 = 84\] 3. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: \[x^2 + 2x - 80 = 0\] 4. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324\] \[\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18\] \[x_1 = \frac{-2 + 18}{2} = \frac{16}{2} = 8\] \[x_2 = \frac{-2 - 18}{2} = -10\] Так как основание системы счисления должно быть положительным числом, нам подходит только \(x = 8\). 5. Проверим условие: в записи чисел \(103_x\) и \(21_x\) максимальная цифра 3. Основание \(x = 8\) больше 3, значит решение корректно. 6. Переведем полученный результат (\(x = 8\)) в двоичную систему счисления. Для этого можно разложить число 8 по степеням двойки: \[8 = 2^3 = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0\] Или методом деления: \[8 / 2 = 4 \text{ (остаток 0)}\] \[4 / 2 = 2 \text{ (остаток 0)}\] \[2 / 2 = 1 \text{ (остаток 0)}\] \[1 / 2 = 0 \text{ (остаток 1)}\] Записываем остатки в обратном порядке: \[8_{10} = 1000_2\] Ответ: 1000