Решение: Исследование ряда на сходимость

Задание 8. Исследовать на сходимость, установить — условно или абсолютно сходится данный ряд. Данный ряд: \[ \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{\ln(n - 1)}{n + 6} \] Решение: Шаг 1. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд из абсолютных величин: \[ \sum_{n=2}^{\infty} \left| (-1)^n \frac{\ln(n - 1)}{n + 6} \right| = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(n - 1)}{n + 6} \] Обозначим общий член этого ряда как \(b_n = \frac{\ln(n - 1)}{n + 6}\). Для \(n=2\), \(b_2 = \frac{\ln(1)}{2+6} = \frac{0}{8} = 0\). Для \(n > 2\), \(b_n > 0\). Сравним \(b_n\) с общим членом расходящегося гармонического ряда \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \). Используем предельный признак сравнения. Вычислим предел отношения \(b_n\) к \(c_n = \frac{1}{n}\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{c_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\ln(n - 1)}{n + 6}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n \ln(n - 1)}{n + 6} \] Разделим числитель и знаменатель на \(n\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n - 1)}{1 + \frac{6}{n}} \] При \(n \to \infty\), \(1 + \frac{6}{n} \to 1\), а \(\ln(n - 1) \to \infty\). Следовательно, \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n \ln(n - 1)}{n + 6} = \infty \] Поскольку предел равен бесконечности, и ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) расходится, то ряд \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(n - 1)}{n + 6} \) также расходится. Таким образом, исходный ряд не сходится абсолютно. Шаг 2. Исследуем ряд на условную сходимость, используя признак Лейбница. Исходный ряд является знакопеременным: \[ \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n a_n \] где \(a_n = \frac{\ln(n - 1)}{n + 6}\). Для применения признака Лейбница необходимо проверить два условия: 1. Последовательность \(a_n\) должна быть монотонно убывающей. 2. Предел \(a_n\) при \(n \to \infty\) должен быть равен нулю. Проверим второе условие: \[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n - 1)}{n + 6} \] Это предел вида \(\frac{\infty}{\infty}\), поэтому можем применить правило Лопиталя. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(\ln(n - 1))'}{(n + 6)'} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n - 1}}{1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n - 1} = 0 \] Второе условие признака Лейбница выполнено. Проверим первое условие: монотонность убывания. Для этого рассмотрим производную функции \(f(x) = \frac{\ln(x - 1)}{x + 6}\) для \(x \ge 2\). \[ f'(x) = \frac{\frac{1}{x - 1}(x + 6) - \ln(x - 1) \cdot 1}{(x + 6)^2} = \frac{\frac{x + 6}{x - 1} - \ln(x - 1)}{(x + 6)^2} \] Нам нужно определить знак числителя: \(g(x) = \frac{x + 6}{x - 1} - \ln(x - 1)\). Перепишем \(g(x)\) как \(g(x) = \frac{x - 1 + 7}{x - 1} - \ln(x - 1) = 1 + \frac{7}{x - 1} - \ln(x - 1)\). Рассмотрим поведение \(g(x)\) для \(x \ge 2\). При \(x = 2\), \(g(2) = 1 + \frac{7}{1} - \ln(1) = 1 + 7 - 0 = 8 > 0\). При \(x = 3\), \(g(3) = 1 + \frac{7}{2} - \ln(2) = 1 + 3.5 - 0.693 \approx 3.807 > 0\). При \(x = 4\), \(g(4) = 1 + \frac{7}{3} - \ln(3) = 1 + 2.333 - 1.098 \approx 2.235 > 0\). При \(x = 5\), \(g(5) = 1 + \frac{7}{4} - \ln(4) = 1 + 1.75 - 1.386 \approx 1.364 > 0\). При \(x = 6\), \(g(6) = 1 + \frac{7}{5} - \ln(5) = 1 + 1.4 - 1.609 \approx 0.791 > 0\). При \(x = 7\), \(g(7) = 1 + \frac{7}{6} - \ln(6) = 1 + 1.167 - 1.792 \approx 0.375 > 0\). При \(x = 8\), \(g(8) = 1 + \frac{7}{7} - \ln(7) = 1 + 1 - 1.946 \approx 0.054 > 0\). При \(x = 9\), \(g(9) = 1 + \frac{7}{8} - \ln(8) = 1 + 0.875 - 2.079 \approx -0.204 < 0\). Таким образом, для достаточно больших \(n\) (начиная с \(n=9\)), \(g(n) < 0\), что означает, что \(f'(n) < 0\), и последовательность \(a_n\) убывает. Поскольку первые несколько членов не нарушают сходимости ряда, а для достаточно больших \(n\) последовательность \(a_n\) монотонно убывает и стремится к нулю, то по признаку Лейбница знакопеременный ряд сходится. Вывод: Ряд \( \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{\ln(n - 1)}{n + 6} \) не сходится абсолютно, но сходится условно. Ответ: Данный ряд сходится условно.