Решение задачи: Нахождение экстремумов функции f(x) = x³ - 2x² + x + 3

Ниже представлено решение задач из вашего списка в удобном для переписывания виде. Задание 1. Найти экстремумы функции. 1) \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 \) Решение: Находим производную функции: \[ f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \] Приравниваем производную к нулю для поиска критических точек: \[ 3x^2 - 4x + 1 = 0 \] Находим дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1; \quad x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3} \] Определим знаки производной на интервалах: При \( x < \frac{1}{3} \), \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает). При \( \frac{1}{3} < x < 1 \), \( f'(x) < 0 \) (функция убывает). При \( x > 1 \), \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает). Следовательно: Точка максимума: \( x_{max} = \frac{1}{3} \). Значение: \( f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 - 2(\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + 3 = 3\frac{4}{27} \). Точка минимума: \( x_{min} = 1 \). Значение: \( f(1) = 1 - 2 + 1 + 3 = 3 \). 2) \( f(x) = e^x(5x - 3) \) Решение: Находим производную по правилу произведения: \[ f'(x) = (e^x)'(5x - 3) + e^x(5x - 3)' = e^x(5x - 3) + e^x \cdot 5 = e^x(5x - 3 + 5) = e^x(5x + 2) \] Приравниваем к нулю: \[ e^x(5x + 2) = 0 \] Так как \( e^x > 0 \), то \( 5x + 2 = 0 \), откуда \( x = -0,4 \). При \( x < -0,4 \), \( f'(x) < 0 \). При \( x > -0,4 \), \( f'(x) > 0 \). Точка минимума: \( x_{min} = -0,4 \). Значение: \( f(-0,4) = e^{-0,4}(5 \cdot (-0,4) - 3) = -5e^{-0,4} \). Задание 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Функция: \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 \) на отрезке \( [0; \frac{3}{2}] \). Решение: Критические точки мы нашли в первом задании: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = \frac{1}{3} \). Обе точки лежат внутри отрезка. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка: 1. \( f(0) = 0 - 0 + 0 + 3 = 3 \) 2. \( f(\frac{1}{3}) = 3\frac{4}{27} \approx 3,15 \) 3. \( f(1) = 3 \) 4. \( f(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^3 - 2(\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2} + 3 = \frac{27}{8} - \frac{18}{4} + \frac{3}{2} + 3 = 3,375 - 4,5 + 1,5 + 3 = 3,375 \) Ответ: Наибольшее значение \( f(\frac{3}{2}) = 3,375 \), наименьшее значение \( f(0) = f(1) = 3 \). Задание 5. Задача про прямоугольник в треугольнике. Дано: Прямоугольный треугольник с катетами \( a = 5 \) см и \( b = 8 \) см. Вписан прямоугольник, имеющий с ним общий прямой угол. Решение: Пусть стороны прямоугольника равны \( x \) и \( y \). Из подобия треугольников следует соотношение: \[ \frac{y}{b} = \frac{a - x}{a} \Rightarrow \frac{y}{8} = \frac{5 - x}{5} \Rightarrow y = \frac{8}{5}(5 - x) = 8 - 1,6x \] Площадь прямоугольника: \[ S(x) = x \cdot y = x(8 - 1,6x) = 8x - 1,6x^2 \] Найдем максимум функции, взяв производную: \[ S'(x) = 8 - 3,2x \] Приравняем к нулю: \( 8 - 3,2x = 0 \Rightarrow x = 2,5 \). Тогда \( y = 8 - 1,6 \cdot 2,5 = 4 \). Наибольшая площадь: \[ S = 2,5 \cdot 4 = 10 \text{ см}^2 \] Ответ: 10 \( \text{см}^2 \).