Решение задачи: Первообразная функции (Вариант А1)

Вариант А1 Задание 1. Докажите, что функция \( F(x) \) является первообразной для функции \( f(x) \): \( F(x) = x^2 - \sin 2x - 1 \), \( f(x) = 2x - 2\cos 2x \). Решение: Функция \( F(x) \) называется первообразной для \( f(x) \), если \( F'(x) = f(x) \). Найдем производную функции \( F(x) \): \[ F'(x) = (x^2 - \sin 2x - 1)' = (x^2)' - (\sin 2x)' - (1)' \] \[ F'(x) = 2x - \cos 2x \cdot (2x)' - 0 = 2x - 2\cos 2x \] Так как \( F'(x) = f(x) \), то функция \( F(x) \) является первообразной для \( f(x) \). Что и требовалось доказать. Задание 2. Найдите общий вид первообразных для функции: а) \( f(x) = x^2 - \sin x \) Решение: \[ F(x) = \int (x^2 - \sin x) dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} - (-\cos x) + C = \frac{x^3}{3} + \cos x + C \] Ответ: \( F(x) = \frac{x^3}{3} + \cos x + C \). б) \( f(x) = 4 - \frac{2}{x^3} \) Решение: Перепишем функцию в виде \( f(x) = 4 - 2x^{-3} \). \[ F(x) = \int (4 - 2x^{-3}) dx = 4x - 2 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = 4x - 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C = 4x + \frac{1}{x^2} + C \] Ответ: \( F(x) = 4x + \frac{1}{x^2} + C \). Задание 3. Для функции \( f \) найдите первообразную \( F \), принимающую заданное значение в указанной точке: а) \( f(x) = (x - 8)^3 \), \( F(8) = 1 \) Решение: Найдем общий вид первообразной: \[ F(x) = \int (x - 8)^3 dx = \frac{(x - 8)^4}{4} + C \] Используем условие \( F(8) = 1 \): \[ \frac{(8 - 8)^4}{4} + C = 1 \Rightarrow 0 + C = 1 \Rightarrow C = 1 \] Искомая первообразная: \( F(x) = \frac{(x - 8)^4}{4} + 1 \). Ответ: \( F(x) = \frac{(x - 8)^4}{4} + 1 \). б) \( f(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} \), \( F(9) = 9 \) Решение: Найдем общий вид первообразной: \[ F(x) = \int \frac{3}{2\sqrt{x}} dx = 3 \cdot \int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = 3\sqrt{x} + C \] Используем условие \( F(9) = 9 \): \[ 3\sqrt{9} + C = 9 \Rightarrow 3 \cdot 3 + C = 9 \Rightarrow 9 + C = 9 \Rightarrow C = 0 \] Искомая первообразная: \( F(x) = 3\sqrt{x} \). Ответ: \( F(x) = 3\sqrt{x} \).