Решение:

Задача 11. Лёгкая Упрощение выражения Упростите выражение \(\sqrt[3]{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt[3]{\frac{2}{3}}\). Укажите правильный ответ. Решение: Для упрощения выражения воспользуемся свойством корней: произведение корней одной и той же степени равно корню той же степени из произведения подкоренных выражений. То есть, \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}\). В нашем случае \(n = 3\), \(a = \frac{3}{8}\) и \(b = \frac{2}{3}\). 1. Запишем произведение под одним корнем: \[\sqrt[3]{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt[3]{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3}}\] 2. Выполним умножение дробей под корнем. При умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель. Также можно сократить общие множители до умножения: \[\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 3}\] 3. Сократим числитель и знаменатель на 3: \[\frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 3} = \frac{2}{8}\] 4. Сократим полученную дробь \(\frac{2}{8}\) на 2: \[\frac{2}{8} = \frac{1}{4}\] 5. Теперь подставим полученное значение обратно под корень: \[\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\] 6. Рассмотрим предложенные варианты ответов: * 1,5 * \(\frac{2}{3}\) * \(\sqrt{\frac{2}{3}}\) * \(\sqrt{1,5}\) Ни один из предложенных вариантов не совпадает с \(\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\). Возможно, в задании или вариантах ответа есть опечатка, или я неправильно интерпретировал изображение. Давайте перепроверим вычисления. \(\sqrt[3]{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt[3]{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\frac{6}{24}}\) Сократим дробь \(\frac{6}{24}\) на 6: \(\frac{6}{24} = \frac{1}{4}\) Значит, результат \(\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\) верен. Если бы это был квадратный корень, то \(\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0,5\). Если бы это был кубический корень из \(\frac{1}{8}\), то \(\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} = 0,5\). Давайте внимательно посмотрим на изображение еще раз. Возможно, корень не кубический, а квадратный, или числа другие. На изображении четко видно \(\sqrt[3]{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt[3]{\frac{2}{3}}\). Предположим, что в одном из вариантов ответа есть ошибка в записи, или же я должен был получить один из этих ответов. Давайте проверим, может быть, один из вариантов ответа можно преобразовать к \(\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\). * 1,5 = \(\frac{3}{2}\) * \(\frac{2}{3}\) * \(\sqrt{\frac{2}{3}}\) * \(\sqrt{1,5} = \sqrt{\frac{3}{2}}\) Ни один из этих вариантов не является \(\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\). Возможно, в задании подразумевался квадратный корень, а не кубический. Если бы было \(\sqrt{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}\): \[\sqrt{\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{6}{24}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0,5\] Но 0,5 нет среди вариантов. Есть 1,5. Давайте еще раз внимательно посмотрим на степень корня. Она выглядит как 3. \(\sqrt[3]{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt[3]{\frac{2}{3}}\) Если бы ответ был \(\frac{2}{3}\), то \(\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}\). Это не \(\frac{1}{4}\). Если бы ответ был \(\sqrt{\frac{2}{3}}\), то \(\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{3}{2}}\). Это не \(\frac{1}{4}\). Возможно, я неправильно прочитал числа под корнем. \(\sqrt[3]{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt[3]{\frac{2}{3}}\) Все выглядит правильно. Давайте предположим, что в задании есть опечатка и вместо \(\sqrt[3]{\frac{3}{8}}\) было \(\sqrt[3]{\frac{9}{8}}\). Тогда \(\sqrt[3]{\frac{9}{8} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\frac{18}{24}} = \sqrt[3]{\frac{3}{4}}\). Тоже не подходит. Давайте предположим, что в задании есть опечатка и вместо \(\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\) было \(\sqrt[3]{\frac{9}{2}}\). Тогда \(\sqrt[3]{\frac{3}{8} \cdot \frac{9}{2}} = \sqrt[3]{\frac{27}{16}}\). Тоже не подходит. Давайте предположим, что в задании есть опечатка и вместо \(\sqrt[3]{\frac{3}{8}}\) было \(\sqrt[3]{\frac{27}{8}}\). Тогда \(\sqrt[3]{\frac{27}{8} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\frac{9 \cdot 2}{8}} = \sqrt[3]{\frac{18}{8}} = \sqrt[3]{\frac{9}{4}}\). Тоже не подходит. Давайте предположим, что в задании есть опечатка и вместо \(\sqrt[3]{\frac{3}{8}}\) было \(\sqrt[3]{\frac{27}{64}}\). Тогда \(\sqrt[3]{\frac{27}{64} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\frac{9 \cdot 2}{64}} = \sqrt[3]{\frac{18}{64}} = \sqrt[3]{\frac{9}{32}}\). Единственный способ получить один из предложенных ответов, это если в задании была другая степень корня или другие числа. Если бы было \(\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}\), то \(\sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{1} = 1\). Если бы было \(\sqrt{1,5} \cdot \sqrt{1,5}\), то это 1,5. Но у нас произведение двух разных корней. Давайте еще раз проверим, может быть, я неправильно прочитал один из вариантов ответа. Варианты: 1. 1,5 2. \(\frac{2}{3}\) 3. \(\sqrt{\frac{2}{3}}\) 4. \(\sqrt{1,5}\) Мой результат: \(\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\). \(\sqrt[3]{\frac{1}{4}} = \sqrt[3]{0,25}\). \((0,5)^3 = 0,125\). \((0,6)^3 = 0,216\). \((0,7)^3 = 0,343\). Значит, \(\sqrt[3]{0,25}\) находится между 0,6 и 0,7. Ни один из вариантов не является \(\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\). Возможно, в задании подразумевалось, что нужно получить \(\frac{2}{3}\) или \(\sqrt{\frac{2}{3}}\). Если бы ответ был \(\frac{2}{3}\), то исходное выражение должно было быть равно \(\frac{2}{3}\). \(\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \neq \frac{2}{3}\). Если бы ответ был \(\sqrt{\frac{2}{3}}\), то исходное выражение должно было быть равно \(\sqrt{\frac{2}{3}}\). \(\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \neq \sqrt{\frac{2}{3}}\). Я вынужден заключить, что либо я неправильно прочитал условие (что маловероятно, так как оно достаточно четкое), либо в задании или в предложенных вариантах ответа есть ошибка. Однако, если мне нужно выбрать наиболее подходящий ответ из предложенных, и предполагая, что задача должна иметь решение среди вариантов, я должен искать возможную ошибку в моем понимании или в задании. Давайте предположим, что корень был квадратный, а не кубический. \(\sqrt{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{6}{24}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0,5\). 0,5 нет среди вариантов. Давайте предположим, что в задании была опечатка и вместо \(\frac{3}{8}\) было \(\frac{9}{8}\) и вместо \(\frac{2}{3}\) было \(\frac{2}{9}\). Тогда \(\sqrt[3]{\frac{9}{8} \cdot \frac{2}{9}} = \sqrt[3]{\frac{18}{72}} = \sqrt[3]{\frac{1}{4}}\). Это все равно \(\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\). Давайте предположим, что в задании было \(\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{2}{3}}\). Тогда \(\sqrt[3]{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{1} = 1\). Тоже нет среди вариантов. Давайте предположим, что в задании было \(\sqrt[3]{\frac{27}{8}} \cdot \sqrt[3]{\frac{8}{27}}\). Тогда \(\sqrt[3]{\frac{27}{8} \cdot \frac{8}{27}} = \sqrt[3]{1} = 1\). Единственный способ получить один из ответов, это если числа были другими. Например, если бы было \(\sqrt[3]{\frac{8}{27}}\), то это \(\frac{2}{3}\). Но у нас \(\sqrt[3]{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt[3]{\frac{2}{3}}\). Я еще раз перепроверил все вычисления. \[\sqrt[3]{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt[3]{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\frac{6}{24}} = \sqrt[3]{\frac{1}{4}}\] Это окончательный результат. Если мне нужно выбрать ответ из предложенных, то это означает, что либо я неверно прочитал условие, либо в условии или вариантах ответа есть ошибка. Поскольку я не могу изменить условие, я должен придерживаться того, что вижу. Возможно, в задании подразумевалось, что нужно получить \(\sqrt{\frac{2}{3}}\) и тогда исходное выражение должно было быть другим. Например, если бы было \(\sqrt{\frac{4}{9}}\), то это \(\frac{2}{3}\). Если бы было \(\sqrt{\frac{2}{3}}\), то это \(\sqrt{\frac{2}{3}}\). Я не могу найти способ получить один из предложенных ответов из данного выражения. Поэтому я предоставлю решение, основанное на точном прочтении выражения. Окончательное решение: 1. Объединяем корни: \[\sqrt[3]{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt[3]{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3}}\] 2. Умножаем дроби под корнем: \[\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 3} = \frac{6}{24}\] 3. Сокращаем дробь: \[\frac{6}{24} = \frac{1}{4}\] 4. Получаем окончательный результат: \[\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\] Среди предложенных вариантов ответа нет \(\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\). Если бы это был квадратный корень, то \(\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0,5\). Если бы это был кубический корень из \(\frac{8}{27}\), то это \(\frac{2}{3}\). Если бы это был квадратный корень из \(\frac{4}{9}\), то это \(\frac{2}{3}\). Предполагая, что в задании есть опечатка и правильный ответ должен быть \(\frac{2}{3}\), то исходное выражение должно было быть, например, \(\sqrt[3]{\frac{8}{27}}\). Но это не то, что написано. Если я должен выбрать один из вариантов, то это возможно только при условии, что в задании есть ошибка. Я не могу выбрать правильный ответ из предложенных, основываясь на точном решении. Если бы я был школьником и мне нужно было бы выбрать ответ, я бы перепроверил условие и варианты. Если бы я был уверен в своем решении \(\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\), а его нет в вариантах, я бы сообщил учителю об ошибке. Однако, если я должен дать ответ, который *мог бы быть* правильным, если бы задание было немного другим, то это спекуляция. Например, если бы вместо \(\sqrt[3]{\frac{3}{8}}\) было \(\sqrt[3]{\frac{4}{9}}\) и вместо \(\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\) было \(\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\), то \(\sqrt[3]{\frac{4}{9} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}\). В этом случае ответ \(\frac{2}{3}\) был бы правильным. Но я должен решать задачу, которая дана. Поэтому, мой ответ: \(\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\). Если же мне *обязательно* нужно выбрать один из предложенных вариантов, то это означает, что я должен найти ошибку в своем рассуждении или предположить ошибку в задании, которая приведет к одному из вариантов. Давайте еще раз посмотрим на варианты. 1. 1,5 2. \(\frac{2}{3}\) 3. \(\sqrt{\frac{2}{3}}\) 4. \(\sqrt{1,5}\) Если бы в задании был квадратный корень, а не кубический, то ответ был бы \(\frac{1}{2} = 0,5\). Этого нет. Если бы в задании было \(\sqrt[3]{\frac{27}{8}}\) (что равно 1,5) и \(\sqrt[3]{\frac{8}{27}}\) (что равно \(\frac{2}{3}\)), то их произведение было бы 1. Я не могу найти логического пути, чтобы получить один из предложенных ответов из данного выражения. Поэтому, я еще раз подтверждаю, что правильный ответ на данное выражение \(\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\). Если бы я был школьником, я бы записал решение и указал, что мой ответ не совпадает с предложенными вариантами. Ответ: \(\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\). (Поскольку в списке вариантов нет этого ответа, возможно, в задании или вариантах ответа есть ошибка.)