Решение задачи 1 (Вариант 2): 7 11/12 - 3 1/6

Вот решения задач из "Варианта 2", оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь.
Вариант 2
1. Найдите значение выражения:
а) \(7 \frac{11}{12} - 3 \frac{1}{6}\)
Решение:
Чтобы вычесть смешанные числа, сначала вычтем целые части, а затем дробные. Если дробные части имеют разные знаменатели, приведем их к общему знаменателю.
\(7 \frac{11}{12} - 3 \frac{1}{6} = (7 - 3) + (\frac{11}{12} - \frac{1}{6})\)
Общий знаменатель для 12 и 6 равен 12.
\(\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}\)
Теперь выполним вычитание:
\(4 + (\frac{11}{12} - \frac{2}{12}) = 4 + \frac{11 - 2}{12} = 4 + \frac{9}{12}\)
Дробь \(\frac{9}{12}\) можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 3.
\(\frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}\)
Таким образом, получаем:
\(4 + \frac{3}{4} = 4 \frac{3}{4}\)
Ответ: \(4 \frac{3}{4}\)
б) \(\frac{2 \frac{3}{5}}{4 \frac{2}{15}}\)
Решение:
Чтобы разделить дроби, сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби.
\(2 \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{10 + 3}{5} = \frac{13}{5}\)
\(4 \frac{2}{15} = \frac{4 \cdot 15 + 2}{15} = \frac{60 + 2}{15} = \frac{62}{15}\)
Теперь выполним деление дробей. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
\(\frac{\frac{13}{5}}{\frac{62}{15}} = \frac{13}{5} \div \frac{62}{15} = \frac{13}{5} \cdot \frac{15}{62}\)
Сократим дроби, если это возможно. Числитель 15 и знаменатель 5 можно сократить на 5.
\(\frac{13}{\cancel{5}_1} \cdot \frac{\cancel{15}^3}{62} = \frac{13 \cdot 3}{1 \cdot 62} = \frac{39}{62}\)
Ответ: \(\frac{39}{62}\)
в) \(\frac{3,4}{20,4}\)
Решение:
Чтобы избавиться от десятичных дробей в числителе и знаменателе, умножим и числитель, и знаменатель на 10.
\(\frac{3,4}{20,4} = \frac{3,4 \cdot 10}{20,4 \cdot 10} = \frac{34}{204}\)
Теперь сократим дробь. Оба числа четные, поэтому их можно разделить на 2.
\(\frac{34 \div 2}{204 \div 2} = \frac{17}{102}\)
Число 17 является простым. Проверим, делится ли 102 на 17.
\(102 \div 17 = 6\)
Значит, дробь можно сократить на 17.
\(\frac{17 \div 17}{102 \div 17} = \frac{1}{6}\)
Ответ: \(\frac{1}{6}\)
г) \(\frac{1,71}{4 \frac{1}{5}}\)
Решение:
Переведем десятичную дробь в обыкновенную и смешанное число в неправильную дробь.
\(1,71 = \frac{171}{100}\)
\(4 \frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{20 + 1}{5} = \frac{21}{5}\)
Теперь выполним деление:
\(\frac{\frac{171}{100}}{\frac{21}{5}} = \frac{171}{100} \div \frac{21}{5} = \frac{171}{100} \cdot \frac{5}{21}\)
Сократим дроби. 100 и 5 можно сократить на 5.
\(\frac{171}{\cancel{100}_{20}} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{21} = \frac{171 \cdot 1}{20 \cdot 21} = \frac{171}{420}\)
Проверим, можно ли сократить дробь \(\frac{171}{420}\). Сумма цифр 171: \(1+7+1=9\), значит, 171 делится на 3 и на 9. Сумма цифр 420: \(4+2+0=6\), значит, 420 делится на 3.
Разделим числитель и знаменатель на 3.
\(171 \div 3 = 57\)
\(420 \div 3 = 140\)
Получаем дробь \(\frac{57}{140}\).
Число 57 делится на 3 (сумма цифр \(5+7=12\)) и на 19 (\(57 = 3 \cdot 19\)). Число 140 не делится на 3 (сумма цифр \(1+4+0=5\)). Число 140 не делится на 19 (\(19 \cdot 7 = 133\), \(19 \cdot 8 = 152\)). Значит, дробь \(\frac{57}{140}\) несократима.
Ответ: \(\frac{57}{140}\)
2. Заасфальтировали \(\frac{5}{9}\) дороги, что составило 45 км. Какова длина всей дороги?
Решение:
Пусть \(x\) - длина всей дороги в километрах. Известно, что \(\frac{5}{9}\) от всей дороги составляет 45 км. Это можно записать как уравнение:
\(\frac{5}{9} \cdot x = 45\)
Чтобы найти \(x\), нужно разделить 45 на \(\frac{5}{9}\).
\(x = 45 \div \frac{5}{9}\)
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь.
\(x = 45 \cdot \frac{9}{5}\)
Сократим 45 и 5.
\(x = \frac{\cancel{45}^9 \cdot 9}{\cancel{5}_1}\)
\(x = 9 \cdot 9\)
\(x = 81\)
Значит, длина всей дороги составляет 81 км.
Ответ: 81 км.
3. Решите уравнение \(x - \frac{7}{9}x = 3,6\).
Решение:
Сначала упростим левую часть уравнения. \(x\) можно представить как \(1x\).
\(1x - \frac{7}{9}x = 3,6\)
Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. \(1 = \frac{9}{9}\).
\(\frac{9}{9}x - \frac{7}{9}x = 3,6\)
\(\frac{9 - 7}{9}x = 3,6\)
\(\frac{2}{9}x = 3,6\)
Теперь, чтобы найти \(x\), нужно разделить 3,6 на \(\frac{2}{9}\).
\(x = 3,6 \div \frac{2}{9}\)
Переведем десятичную дробь 3,6 в обыкновенную.
\(3,6 = \frac{36}{10} = \frac{18}{5}\)
Теперь подставим это значение в уравнение:
\(x = \frac{18}{5} \div \frac{2}{9}\)
Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную дробь.
\(x = \frac{18}{5} \cdot \frac{9}{2}\)
Сократим 18 и 2.
\(x = \frac{\cancel{18}^9 \cdot 9}{5 \cdot \cancel{2}_1}\)
\(x = \frac{9 \cdot 9}{5}\)
\(x = \frac{81}{5}\)
Можно перевести неправильную дробь в десятичную или смешанное число.
\(x = 81 \div 5 = 16,2\)
Ответ: \(x = 16,2\)
4. В два железнодорожных вагона погрузили 91 т угля. Во втором вагоне угля оказалось в \(1 \frac{1}{6}\) раза больше. Сколько угля погрузили в каждый из этих вагонов?
Решение:
Пусть \(x\) тонн угля погрузили в первый вагон. Тогда во второй вагон погрузили в \(1 \frac{1}{6}\) раза больше, то есть \(x \cdot 1 \frac{1}{6}\) тонн.
Переведем смешанное число в неправильную дробь: \(1 \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}\)
Значит, во второй вагон погрузили \(\frac{7}{6}x\) тонн угля.
Всего в два вагона погрузили 91 т угля. Составим уравнение:
\(x + \frac{7}{6}x = 91\)
Приведем \(x\) к дроби с знаменателем 6: \(x = \frac{6}{6}x\).
\(\frac{6}{6}x + \frac{7}{6}x = 91\)
\(\frac{6 + 7}{6}x = 91\)
\(\frac{13}{6}x = 91\)
Чтобы найти \(x\), разделим 91 на \(\frac{13}{6}\).
\(x = 91 \div \frac{13}{6}\)
\(x = 91 \cdot \frac{6}{13}\)
Сократим 91 и 13. \(91 \div 13 = 7\).
\(x = \cancel{91}^7 \cdot \frac{6}{\cancel{13}_1}\)
\(x = 7 \cdot 6\)
\(x = 42\)
Итак, в первый вагон погрузили 42 тонны угля.
Теперь найдем, сколько угля погрузили во второй вагон:
Второй вагон: \(\frac{7}{6}x = \frac{7}{6} \cdot 42\)
\(\frac{7}{\cancel{6}_1} \cdot \cancel{42}^7 = 7 \cdot 7 = 49\)
Во второй вагон погрузили 49 тонн угля.
Проверим: \(42 + 49 = 91\). Все верно.
Ответ: В первый вагон погрузили 42 т угля, во второй вагон погрузили 49 т угля.
5. Сравните числа \(m\) и \(n\), если \(\frac{3}{7}\) числа \(m\) составляют 15 % числа \(n\) (числа \(m\) и \(n\) не равны нулю).
Решение:
Запишем условие задачи в виде математического выражения. \(\frac{3}{7}\) числа \(m\) это \(\frac{3}{7}m\). 15 % числа \(n\) это \(0,15n\) или \(\frac{15}{100}n = \frac{3}{20}n\).
Согласно условию, эти выражения равны:
\(\frac{3}{7}m = \frac{3}{20}n\)
Так как \(m\) и \(n\) не равны нулю, мы можем разделить обе части уравнения на 3.
\(\frac{1}{7}m = \frac{1}{20}n\)
Теперь выразим \(m\) через \(n\), умножив обе части на 7:
\(m = \frac{7}{20}n\)
Чтобы сравнить \(m\) и \(n\), нужно сравнить коэффициент \(\frac{7}{20}\) с единицей.
\(\frac{7}{20}\) - это правильная дробь, так как числитель (7) меньше знаменателя (20). Значит, \(\frac{7}{20} < 1\).
Поскольку \(m = \frac{7}{20}n\) и \(\frac{7}{20} < 1\), а числа \(m\) и \(n\) не равны нулю, то: Если \(n > 0\), то \(m < n\). Если \(n < 0\), то \(m > n\) (например, если \(n = -20\), то \(m = \frac{7}{20} \cdot (-20) = -7\), и \(-7 > -20\)).
Однако, в задачах такого типа, если не указано иное, обычно подразумеваются положительные числа. Если числа могут быть отрицательными, то сравнение зависит от знака \(n\). Если \(n\) положительное, то \(m < n\). Если \(n\) отрицательное, то \(m > n\).
Предположим, что \(m\) и \(n\) - положительные числа (это стандартное предположение, если не указано обратное). Тогда \(m = \frac{7}{20}n\). Поскольку \(\frac{7}{20} < 1\), то \(m\) будет меньше \(n\).
Ответ: Если \(n > 0\), то \(m < n\). Если \(n < 0\), то \(m > n\). Если подразумеваются положительные числа, то \(m < n\).