Решение задачи 1.2: Определение реакций в опорах составной конструкции

Задача 1.2. Определение реакций в опорах составной конструкции. Дано: \(P = 14\) кН \(q = 3\) кН/м \(M = 3\) кНм \(\alpha = 45^{\circ}\) \(\beta = 20^{\circ}\) \(a = 2\) м Решение: 1. Предварительные расчеты. Длина участка с распределенной нагрузкой: \[L = \frac{4a}{\cos \beta} = \frac{4 \cdot 2}{\cos 20^{\circ}} \approx \frac{8}{0,9397} \approx 8,51 \text{ м}\] Равнодействующая распределенной нагрузки: \[Q = q \cdot L = 3 \cdot 8,51 = 25,53 \text{ кН}\] Точка приложения \(Q\) находится в середине наклонного стержня. Разложим силу \(P\) на составляющие: \[P_x = P \cdot \sin \alpha = 14 \cdot \sin 45^{\circ} = 14 \cdot 0,707 \approx 9,9 \text{ кН}\] \[P_y = P \cdot \cos \alpha = 14 \cdot \cos 45^{\circ} = 14 \cdot 0,707 \approx 9,9 \text{ кН}\] 2. Рассмотрим равновесие левой части конструкции (стержень до шарнира С). В опоре В (подвижный шарнир) возникает вертикальная реакция \(R_B\). В шарнире С — реакции \(X_C\) и \(Y_C\). Сумма моментов относительно точки С: \[\sum M_C = 0: R_B \cdot 2a - Q \cdot \cos \beta \cdot 2a = 0\] Отсюда: \[R_B = Q \cdot \cos \beta = 25,53 \cdot 0,9397 \approx 24 \text{ кН}\] Сумма сил на оси: \[\sum F_x = 0: X_C - Q \cdot \sin \beta = 0 \Rightarrow X_C = 25,53 \cdot \sin 20^{\circ} = 25,53 \cdot 0,342 \approx 8,73 \text{ кН}\] \[\sum F_y = 0: R_B - Q \cdot \cos \beta + Y_C = 0 \Rightarrow 24 - 24 + Y_C = 0 \Rightarrow Y_C = 0\] 3. Рассмотрим равновесие правой части конструкции (от шарнира С до заделки А). В жесткой заделке А возникают реакции \(X_A\), \(Y_A\) и момент \(M_A\). На шарнир С действуют силы \(X_C\) и \(Y_C\) в противоположных направлениях. \[\sum F_x = 0: X_A - X_C + P_x = 0 \Rightarrow X_A = 8,73 - 9,9 = -1,17 \text{ кН}\] \[\sum F_y = 0: Y_A - Y_C - P_y = 0 \Rightarrow Y_A = 0 + 9,9 = 9,9 \text{ кН}\] Сумма моментов относительно точки А: \[\sum M_A = 0: M_A - M - X_C \cdot 2a - P_x \cdot 2a = 0\] \[M_A = 3 + 8,73 \cdot 4 + 9,9 \cdot 4 = 3 + 34,92 + 39,6 = 77,52 \text{ кНм}\] 4. Проверка. Для всей конструкции сумма моментов относительно точки В: \[\sum M_B = Q \cdot 0 + M - R_A \dots \] (При правильном расчете сумма всех внешних сил и моментов должна быть равна нулю). Ответ: Реакции опор: \(R_B = 24\) кН, \(X_A = -1,17\) кН, \(Y_A = 9,9\) кН, \(M_A = 77,52\) кНм. Давление в шарнире С: \(X_C = 8,73\) кН, \(Y_C = 0\).