Решение:

Свойства квадратного корня Упростите выражение: \[ \sqrt{0,375} \cdot \left( \sqrt{\frac{2}{3}} + \sqrt{150} - \sqrt{6} \right) \] Решение: Шаг 1: Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную и упростим ее. \[ 0,375 = \frac{375}{1000} \] Сократим дробь. Разделим числитель и знаменатель на 125: \[ \frac{375 \div 125}{1000 \div 125} = \frac{3}{8} \] Значит, \( \sqrt{0,375} = \sqrt{\frac{3}{8}} \). Шаг 2: Упростим корни внутри скобок. \[ \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{6} = 5\sqrt{6} \] Теперь выражение выглядит так: \[ \sqrt{\frac{3}{8}} \cdot \left( \sqrt{\frac{2}{3}} + 5\sqrt{6} - \sqrt{6} \right) \] Шаг 3: Выполним действия внутри скобок. \[ 5\sqrt{6} - \sqrt{6} = (5-1)\sqrt{6} = 4\sqrt{6} \] Выражение становится: \[ \sqrt{\frac{3}{8}} \cdot \left( \sqrt{\frac{2}{3}} + 4\sqrt{6} \right) \] Шаг 4: Раскроем скобки, умножая \( \sqrt{\frac{3}{8}} \) на каждое слагаемое. Первое слагаемое: \[ \sqrt{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \] Используем свойство \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \): \[ \sqrt{\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 3}} \] Сократим 3 в числителе и знаменателе, а также 2 и 8: \[ \sqrt{\frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} \] Второе слагаемое: \[ \sqrt{\frac{3}{8}} \cdot 4\sqrt{6} \] Вынесем 4 вперед: \[ 4 \cdot \sqrt{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt{6} \] Объединим корни: \[ 4 \cdot \sqrt{\frac{3}{8} \cdot 6} = 4 \cdot \sqrt{\frac{3 \cdot 6}{8}} = 4 \cdot \sqrt{\frac{18}{8}} \] Сократим дробь \( \frac{18}{8} \) на 2: \[ 4 \cdot \sqrt{\frac{9}{4}} \] Извлечем корень: \[ 4 \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = 4 \cdot \frac{3}{2} \] Выполним умножение: \[ 4 \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] Шаг 5: Сложим результаты первого и второго слагаемых. \[ \frac{1}{2} + 6 \] \[ \frac{1}{2} + \frac{12}{2} = \frac{1+12}{2} = \frac{13}{2} \] Шаг 6: Переведем дробь в десятичную. \[ \frac{13}{2} = 6,5 \] В итоге, упрощенное выражение равно 6,5. Ответ: 6,5