Вычисление 1/(7√136) с точностью 0.001

Задание 10. Вычислить \( \frac{1}{\sqrt[7]{136}} \) приближенно с степенью точности \( \alpha=0,001 \), воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции. Решение: Нам нужно вычислить \( \frac{1}{\sqrt[7]{136}} \) с точностью до \( 0,001 \). Перепишем выражение в виде степени: \( \frac{1}{\sqrt[7]{136}} = 136^{-\frac{1}{7}} \) Для разложения в степенной ряд удобно использовать биномиальный ряд для функции вида \( (1+x)^\alpha \). Мы знаем, что \( 2^7 = 128 \). Это число близко к \( 136 \). Поэтому представим \( 136 \) как \( 128 + 8 \). Тогда: \( 136^{-\frac{1}{7}} = (128 + 8)^{-\frac{1}{7}} \) Вынесем \( 128 \) за скобки: \( (128 + 8)^{-\frac{1}{7}} = (128(1 + \frac{8}{128}))^{-\frac{1}{7}} \) \( = (128)^{-\frac{1}{7}} \cdot (1 + \frac{1}{16})^{-\frac{1}{7}} \) Мы знаем, что \( 128 = 2^7 \), поэтому \( (128)^{-\frac{1}{7}} = (2^7)^{-\frac{1}{7}} = 2^{-1} = \frac{1}{2} \). Таким образом, наше выражение принимает вид: \( \frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{1}{16})^{-\frac{1}{7}} \) Теперь нам нужно разложить функцию \( (1+x)^\alpha \) в степенной ряд, где \( x = \frac{1}{16} \) и \( \alpha = -\frac{1}{7} \). Биномиальный ряд Маклорена для \( (1+x)^\alpha \) имеет вид: \( (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \dots \) Подставим \( x = \frac{1}{16} \) и \( \alpha = -\frac{1}{7} \): \( (1 + \frac{1}{16})^{-\frac{1}{7}} = 1 + (-\frac{1}{7}) \cdot \frac{1}{16} + \frac{(-\frac{1}{7})(-\frac{1}{7}-1)}{2!} (\frac{1}{16})^2 + \frac{(-\frac{1}{7})(-\frac{1}{7}-1)(-\frac{1}{7}-2)}{3!} (\frac{1}{16})^3 + \dots \) Вычислим первые несколько членов ряда: Первый член: \( 1 \) Второй член: \( T_1 = \alpha x = (-\frac{1}{7}) \cdot \frac{1}{16} = -\frac{1}{112} \) \( -\frac{1}{112} \approx -0,008928 \) Третий член: \( T_2 = \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 = \frac{(-\frac{1}{7})(-\frac{1}{7}-1)}{2} (\frac{1}{16})^2 \) \( = \frac{(-\frac{1}{7})(-\frac{8}{7})}{2} \cdot \frac{1}{256} \) \( = \frac{\frac{8}{49}}{2} \cdot \frac{1}{256} \) \( = \frac{4}{49} \cdot \frac{1}{256} \) \( = \frac{1}{49 \cdot 64} = \frac{1}{3136} \) \( \frac{1}{3136} \approx 0,000318 \) Четвертый член: \( T_3 = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 = \frac{(-\frac{1}{7})(-\frac{8}{7})(-\frac{15}{7})}{6} (\frac{1}{16})^3 \) \( = \frac{\frac{120}{343}}{6} \cdot \frac{1}{4096} \) \( = \frac{20}{343} \cdot \frac{1}{4096} \) \( = \frac{5}{343 \cdot 1024} = \frac{5}{350208} \) \( \frac{5}{350208} \approx 0,000014 \) Теперь оценим остаточный член ряда. Для знакопеременного ряда (который получается, если \( \alpha < 0 \) и \( x > 0 \)), остаток не превышает по модулю первого отброшенного члена. Нам нужна точность \( \alpha = 0,001 \). Значение \( \frac{1}{2} \cdot T_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3136} = \frac{1}{6272} \approx 0,000159 \). Это меньше \( 0,001 \). Значение \( \frac{1}{2} \cdot T_3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{350208} = \frac{5}{700416} \approx 0,000007 \). Это значительно меньше \( 0,001 \). Поскольку ряд знакопеременный (начиная со второго члена), и его члены по модулю убывают, мы можем остановиться, когда первый отброшенный член, умноженный на \( \frac{1}{2} \), станет меньше \( 0,001 \). Первый член \( 1 \). Второй член \( -\frac{1}{112} \). Третий член \( \frac{1}{3136} \). Четвертый член \( -\frac{5}{350208} \). Мы вычисляем \( \frac{1}{2} \cdot (1 + T_1 + T_2 + T_3 + \dots) \). Если мы возьмем только первые два члена \( 1 + T_1 \), то остаток будет \( \frac{1}{2} \cdot (T_2 + T_3 + \dots) \). Модуль первого отброшенного члена \( T_2 \) равен \( \frac{1}{3136} \approx 0,000318 \). Тогда \( \frac{1}{2} \cdot T_2 \approx 0,000159 \). Это меньше \( 0,001 \). Значит, для достижения требуемой точности \( 0,001 \), достаточно взять члены до \( T_1 \) включительно. Вычислим сумму: \( (1 + \frac{1}{16})^{-\frac{1}{7}} \approx 1 + (-\frac{1}{7}) \cdot \frac{1}{16} = 1 - \frac{1}{112} \) \( = \frac{112 - 1}{112} = \frac{111}{112} \) Теперь умножим на \( \frac{1}{2} \): \( \frac{1}{2} \cdot \frac{111}{112} = \frac{111}{224} \) Вычислим десятичное значение: \( \frac{111}{224} \approx 0,4955357 \) Проверим, если мы возьмем до \( T_2 \): \( (1 + \frac{1}{16})^{-\frac{1}{7}} \approx 1 - \frac{1}{112} + \frac{1}{3136} \) \( = \frac{3136 - 28 + 1}{3136} = \frac{3109}{3136} \) Тогда \( \frac{1}{2} \cdot \frac{3109}{3136} = \frac{3109}{6272} \approx 0,495695 \) Разница между \( \frac{111}{224} \) и \( \frac{3109}{6272} \) составляет \( 0,495695 - 0,4955357 = 0,0001593 \). Это значение меньше \( 0,001 \). Значит, достаточно взять два члена ряда (до \( T_1 \) включительно). Окончательный результат: \( \frac{1}{\sqrt[7]{136}} \approx \frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{1}{112}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{111}{112} = \frac{111}{224} \) Переведем в десятичную дробь и округлим до трех знаков после запятой: \( \frac{111}{224} \approx 0,4955357 \dots \) Округляем до \( 0,001 \): \( 0,496 \) Ответ: \( \frac{1}{\sqrt[7]{136}} \approx 0,496 \)