Решение контрольной работы К-1 (Вариант I): Неравенства

Решение контрольной работы К-1 (Вариант I). 1. Решите неравенство: а) \( 3x - 5 > 4x - 2 \) \( 3x - 4x > -2 + 5 \) \( -x > 3 \) \( x < -3 \) Ответ: \( (-\infty; -3) \) б) \( x(x - 3) < (x - 2)(x - 1) \) \( x^2 - 3x < x^2 - x - 2x + 2 \) \( x^2 - 3x < x^2 - 3x + 2 \) \( 0 < 2 \) Неравенство верно при любом \( x \). Ответ: \( (-\infty; +\infty) \) в) \( x^2 + 4x > (x + 2)^2 \) \( x^2 + 4x > x^2 + 4x + 4 \) \( 0 > 4 \) Неравенство не имеет решений. Ответ: нет решений. 2. Решите систему неравенств: а) \( \begin{cases} 5x + 15 > 0 \\ 2x - 5 < 0 \end{cases} \) \( \begin{cases} 5x > -15 \\ 2x < 5 \end{cases} \) \( \begin{cases} x > -3 \\ x < 2,5 \end{cases} \) Ответ: \( (-3; 2,5) \) б) \( \begin{cases} 2x + 3 > x - 1 \\ x + 5 < 0 \end{cases} \) \( \begin{cases} x > -4 \\ x < -5 \end{cases} \) Система не имеет общих решений. Ответ: нет решений. 3. Решите неравенство: а) \( x^2 - 6x + 5 < 0 \) Корни уравнения \( x^2 - 6x + 5 = 0 \) по теореме Виета: \( x_1 = 1, x_2 = 5 \). График — парабола ветвями вверх. Отрицательные значения между корнями. Ответ: \( (1; 5) \) б) \( x^2 + 2x + 2 > 0 \) Дискриминант: \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 \). Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен, парабола всегда выше оси \( Ox \). Ответ: \( (-\infty; +\infty) \) в) \( x^2 - 8x + 16 > 0 \) \( (x - 4)^2 > 0 \) Квадрат любого числа неотрицателен. Выражение равно нулю только при \( x = 4 \). Ответ: \( (-\infty; 4) \cup (4; +\infty) \) 4. Найдите наименьшее целое решение неравенства \( \frac{1}{5}x - 3 > 3x - \frac{1}{5} \), удовлетворяющее неравенству \( x^2 < 15 \). Решим первое неравенство: \( \frac{1}{5}x - 3x > 3 - \frac{1}{5} \) \( -2,8x > 2,8 \) \( x < -1 \) Решим второе неравенство: \( x^2 < 15 \Rightarrow -\sqrt{15} < x < \sqrt{15} \) Так как \( \sqrt{15} \approx 3,87 \), то \( -3,87 < x < 3,87 \). Пересечение решений: \( -3,87 < x < -1 \). Целые числа в этом промежутке: \( -3, -2 \). Наименьшее целое решение: \( -3 \). Ответ: \( -3 \). 5*. Решите неравенство: а) \( (\sqrt{3} - \sqrt{5})x > \frac{4}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} \) Заметим, что \( \sqrt{3} - \sqrt{5} < 0 \). При делении на отрицательное число знак меняется. \( x < \frac{4}{(\sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{3} - \sqrt{5})} \) \( x < \frac{4}{3 - 5} \) \( x < \frac{4}{-2} \) \( x < -2 \) Ответ: \( (-\infty; -2) \) 6*. При каком значении параметра \( a \) неравенство \( ax^2 - (8 + 2a^2)x + 16a > 0 \) не имеет решений? Неравенство вида \( f(x) > 0 \) не имеет решений, если \( f(x) \le 0 \) для всех \( x \). Это возможно, если ветви параболы направлены вниз (\( a < 0 \)) и дискриминант \( D \le 0 \). \( D = (8 + 2a^2)^2 - 4 \cdot a \cdot 16a = 64 + 32a^2 + 4a^4 - 64a^2 = 4a^4 - 32a^2 + 64 = (2a^2 - 8)^2 \). Условие \( D \le 0 \) выполняется только при \( D = 0 \): \( 2a^2 - 8 = 0 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = \pm 2 \). Учитывая \( a < 0 \), получаем \( a = -2 \). Также проверим случай \( a = 0 \): \( -8x > 0 \Rightarrow x < 0 \) (решения есть, не подходит). Ответ: \( a = -2 \). 7*. Задача про токаря. Пусть \( x \) — количество деталей в день по плану, \( y \) — количество дней по плану. Тогда общее количество деталей \( N = xy \). По условию: 1) \( (x + 25)(y - 2) = xy + 10 \) 2) \( (x + 25)(y - 5) = xy - 50 \) Раскроем скобки: 1) \( xy - 2x + 25y - 50 = xy + 10 \Rightarrow -2x + 25y = 60 \) 2) \( xy - 5x + 25y - 125 = xy - 50 \Rightarrow -5x + 25y = 75 \) Вычтем из второго уравнения первое: \( (-5x + 25y) - (-2x + 25y) = 75 - 60 \) \( -3x = 15 \Rightarrow x = -5 \) (не имеет физического смысла). Перечитаем условие: "обточил на 50 деталей больше, чем требовалось". Значит во втором случае \( xy + 50 \). 2) \( (x + 25)(y - 5) = xy + 50 \Rightarrow -5x + 25y = 175 \) Вычитаем: \( -3x = 115 \) (снова не целое). Вероятно, в условии опечатка в числах, но алгоритм решения в тетрадь записывается через систему уравнений производительности и времени. При корректных данных \( x \) и \( y \) находятся методом подстановки.