Решение задач по геометрии для школьников

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Задача 1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен \(80^\circ\), угол CAD равен \(34^\circ\). Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. Решение: 1. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 2. Угол CAD и угол CBD опираются на одну и ту же дугу CD. 3. Значит, угол CBD равен углу CAD. 4. Угол CAD равен \(34^\circ\), следовательно, угол CBD равен \(34^\circ\). 5. Угол ABC состоит из суммы углов ABD и CBD. 6. Угол ABC = угол ABD + угол CBD. 7. Угол ABC = \(80^\circ + 34^\circ = 114^\circ\). Ответ: \(114\). Задача 2. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что \(\angle NBA = 34^\circ\). Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах. Решение: 1. Угол, опирающийся на диаметр, является прямым. 2. Угол ANB опирается на диаметр AB, значит, угол ANB равен \(90^\circ\). 3. Рассмотрим треугольник ANB. Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). 4. Угол NAB = \(180^\circ - \angle ANB - \angle NBA\). 5. Угол NAB = \(180^\circ - 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ\). 6. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 7. Угол NMB и угол NAB опираются на одну и ту же дугу NB. 8. Значит, угол NMB равен углу NAB. 9. Угол NMB = \(56^\circ\). Ответ: \(56\). Задача 3. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 8,5. Найдите BC, если AC=8. Решение: 1. Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром окружности. 2. Значит, сторона AB является диаметром окружности. 3. Радиус окружности равен 8,5. 4. Диаметр AB = \(2 \cdot \text{радиус} = 2 \cdot 8,5 = 17\). 5. Угол, опирающийся на диаметр, является прямым. 6. Угол ACB опирается на диаметр AB, значит, угол ACB равен \(90^\circ\). 7. Треугольник ABC является прямоугольным с гипотенузой AB. 8. По теореме Пифагора: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\). 9. Подставим известные значения: \(8^2 + BC^2 = 17^2\). 10. \(64 + BC^2 = 289\). 11. \(BC^2 = 289 - 64\). 12. \(BC^2 = 225\). 13. \(BC = \sqrt{225}\). 14. \(BC = 15\). Ответ: \(15\). Задача 4. В окружности с центром в точке O отрезки AC и BD - диаметры. Угол AOD равен \(148^\circ\). Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах. Решение: 1. Углы AOD и BOC являются вертикальными. 2. Вертикальные углы равны. 3. Значит, угол BOC = угол AOD = \(148^\circ\). 4. Рассмотрим треугольник BOC. Стороны OB и OC являются радиусами окружности. 5. Значит, треугольник BOC является равнобедренным с основанием BC. 6. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 7. Угол OBC = угол OCB. 8. Сумма углов в треугольнике BOC равна \(180^\circ\). 9. Угол OBC + угол OCB + угол BOC = \(180^\circ\). 10. \(2 \cdot \text{угол OCB} + 148^\circ = 180^\circ\). 11. \(2 \cdot \text{угол OCB} = 180^\circ - 148^\circ\). 12. \(2 \cdot \text{угол OCB} = 32^\circ\). 13. Угол OCB = \(32^\circ / 2 = 16^\circ\). 14. Угол ACB - это тот же угол OCB. 15. Значит, угол ACB = \(16^\circ\). Ответ: \(16\). Задача 5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен \(132^\circ\), угол CAD равен \(80^\circ\). Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. Решение: 1. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 2. Угол CAD и угол CBD опираются на одну и ту же дугу CD. 3. Значит, угол CBD равен углу CAD. 4. Угол CAD равен \(80^\circ\), следовательно, угол CBD равен \(80^\circ\). 5. Угол ABC состоит из суммы углов ABD и CBD. 6. Угол ABC = угол ABD + угол CBD. 7. Мы знаем угол ABC (\(132^\circ\)) и угол CBD (\(80^\circ\)). 8. \(132^\circ = \text{угол ABD} + 80^\circ\). 9. Угол ABD = \(132^\circ - 80^\circ\). 10. Угол ABD = \(52^\circ\). Ответ: \(52\).