Решение задач по геометрии: теорема синусов и касательная

Ниже представлены решения задач из Варианта 13, оформленные для записи в тетрадь. Задача 15. Дано: треугольник \(ABC\), \(\angle A = 45^\circ\), \(\angle B = 60^\circ\), \(BC = 4\sqrt{6}\). Найти: \(AC\). Решение: Воспользуемся теоремой синусов: \[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \] Подставим известные значения: \[ \frac{4\sqrt{6}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ} \] \[ \frac{4\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] \[ AC = \frac{4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{9} = 4 \cdot 3 = 12 \] Ответ: 12. Задача 16. Дано: \(AK\) — касательная, \(AC\) — секущая, \(AB = 6\), \(BC = 48\). Найти: \(AK\). Решение: По теореме о касательной и секущей: квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть. \[ AK^2 = AB \cdot AC \] Найдем длину всей секущей \(AC\): \[ AC = AB + BC = 6 + 48 = 54 \] Вычислим \(AK\): \[ AK^2 = 6 \cdot 54 = 324 \] \[ AK = \sqrt{324} = 18 \] Ответ: 18. Задача 17. Дано: трапеция \(ABCD\), \(BC = 2\), \(AD = 5\), \(AC = 28\). Найти: \(AO\). Решение: Треугольники \(BOC\) и \(DOA\) подобны по двум углам (углы при вершине \(O\) вертикальные, накрест лежащие углы при параллельных основаниях равны). Коэффициент подобия равен отношению оснований: \[ k = \frac{BC}{AD} = \frac{2}{5} \] Следовательно, отношение соответствующих сторон: \[ \frac{OC}{AO} = \frac{2}{5} \Rightarrow OC = \frac{2}{5} AO \] Так как \(AC = AO + OC = 28\), подставим выражение для \(OC\): \[ AO + \frac{2}{5} AO = 28 \] \[ \frac{7}{5} AO = 28 \] \[ AO = \frac{28 \cdot 5}{7} = 4 \cdot 5 = 20 \] Ответ: 20. Задача 18. На клетчатой бумаге изображён ромб. Найдем длину его большей диагонали, просто посчитав клетки по горизонтали между крайними точками фигуры. Считаем клетки: диагональ занимает 12 клеток. Ответ: 12. Задача 19. Проанализируем утверждения: 1) Неверно. Косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе (а не наоборот). 2) Верно. По определению трапеции, её основания всегда параллельны. 3) Неверно. Смежные углы могут быть оба прямыми (по \(90^\circ\)). Ответ: 2.