Решение квадратных неравенств методом интервалов

Для решения данных квадратных неравенств воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующих квадратных уравнений, а затем определим знаки на промежутках. 1) Неравенство \(x^2 - x - 2 \ge 0\) Найдем корни уравнения \(x^2 - x - 2 = 0\) по теореме Виета: \[x_1 + x_2 = 1\] \[x_1 \cdot x_2 = -2\] Отсюда корни: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\). Так как коэффициент при \(x^2\) положителен (\(1 > 0\)), ветви параболы направлены вверх. Выражение больше или равно нулю на внешних промежутках. Ответ: \(x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)\) 2) Неравенство \(x^2 + x - 2 \le 0\) Найдем корни уравнения \(x^2 + x - 2 = 0\): \[x_1 + x_2 = -1\] \[x_1 \cdot x_2 = -2\] Отсюда корни: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\). Ветви параболы направлены вверх. Выражение меньше или равно нулю между корнями. Ответ: \(x \in [-2; 1]\) 3) Неравенство \(x^2 - x - 2 \le 0\) Корни те же, что и в первом пункте: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\). Выражение меньше или равно нулю на внутреннем промежутке. Ответ: \(x \in [-1; 2]\) 4) Неравенство \(x^2 + x - 2 \ge 0\) Корни те же, что и во втором пункте: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\). Выражение больше или равно нулю на внешних промежутках. Ответ: \(x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)\) Итоговое соответствие: \(x^2 - x - 2 \ge 0 \longrightarrow x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)\) \(x^2 + x - 2 \le 0 \longrightarrow x \in [-2; 1]\) \(x^2 - x - 2 \le 0 \longrightarrow x \in [-1; 2]\) \(x^2 + x - 2 \ge 0 \longrightarrow x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)\)