Решение квадратных неравенств методом интервалов

Для решения данных квадратных неравенств воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующих квадратных уравнений, а затем определим промежутки, удовлетворяющие знаку неравенства. 1) Неравенство \(x^2 - x - 2 \ge 0\) Найдем корни уравнения \(x^2 - x - 2 = 0\) по теореме Виета: \[x_1 + x_2 = 1\] \[x_1 \cdot x_2 = -2\] Отсюда корни: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\). Так как знак неравенства \(\ge\), нам нужны внешние промежутки (где парабола выше оси \(Ox\)). Ответ: \(x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)\) 2) Неравенство \(x^2 + x - 2 \le 0\) Найдем корни уравнения \(x^2 + x - 2 = 0\): \[x_1 + x_2 = -1\] \[x_1 \cdot x_2 = -2\] Отсюда корни: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\). Так как знак неравенства \(\le\), нам нужен отрезок между корнями. Ответ: \(x \in [-2; 1]\) 3) Неравенство \(x^2 - x - 2 \le 0\) Корни уравнения те же, что в первом пункте: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\). Так как знак неравенства \(\le\), выбираем внутренний промежуток. Ответ: \(x \in [-1; 2]\) 4) Неравенство \(x^2 + x - 2 \ge 0\) Корни уравнения те же, что во втором пункте: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\). Так как знак неравенства \(\ge\), выбираем внешние промежутки. Ответ: \(x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)\) Итоговое соответствие для заполнения полей: \[x^2 - x - 2 \ge 0 \implies x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)\] \[x^2 + x - 2 \le 0 \implies x \in [-2; 1]\] \[x^2 - x - 2 \le 0 \implies x \in [-1; 2]\] \[x^2 + x - 2 \ge 0 \implies x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)\]