Неравенство без решений: разбор примера

Задание: Укажите неравенство, которое не имеет решений. Решение: Для того чтобы определить, имеет ли квадратное неравенство решения, необходимо рассмотреть соответствующую квадратичную функцию и найти дискриминант квадратного трехчлена. Рассмотрим первое и второе неравенства, так как в них используется один и тот же трехчлен: \(x^2 + 4x + 11\). Найдем дискриминант для уравнения \(x^2 + 4x + 11 = 0\): \[D = b^2 - 4ac\] \[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 16 - 44 = -28\] Так как дискриминант \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Это означает, что график функции \(y = x^2 + 4x + 11\) (парабола) не пересекает ось \(Ox\). Поскольку коэффициент при \(x^2\) положителен (\(a = 1 > 0\)), ветви параболы направлены вверх. Следовательно, вся парабола целиком расположена выше оси \(Ox\), то есть значение выражения всегда положительно. Из этого следует: 1) Неравенство \(x^2 + 4x + 11 > 0\) верно при любом значении \(x\). 2) Неравенство \(x^2 + 4x + 11 < 0\) не имеет решений, так как выражение всегда больше нуля. Проверим остальные варианты: 3) \(2x^2 + 5x - 3 \le 0\). Дискриминант \(D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\). Так как \(D > 0\), у трехчлена есть два корня, и парабола пересекает ось \(Ox\). Значит, есть область, где значения меньше или равны нулю. Решения есть. 4) \(x^2 + 0,5x > 0\). Вынесем \(x\) за скобки: \(x(x + 0,5) > 0\). Корни уравнения: \(x = 0\) и \(x = -0,5\). Парабола пересекает ось \(Ox\), решения есть. Таким образом, неравенство под номером 2 не имеет решений. Ответ: 2