schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение задач по геометрии
help_outlineУсловие задачи
lightbulbКраткий ответ
Представлено подробное решение задач по геометрии с использованием теоремы косинусов и свойства пересекающихся хорд. Найден косинус угла ABC и длина отрезка AP.
Подробное решение
Ниже представлены решения задач с листа в удобном для переписывания виде.
Задача 15.
Дано: \(AB = 6\), \(BC = 8\), \(AC = 4\).
Найти: \(\cos \angle ABC\).
Решение:
Воспользуемся теоремой косинусов для стороны \(AC\):
\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC\]
Подставим известные значения:
\[4^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos \angle ABC\]
\[16 = 36 + 64 - 96 \cdot \cos \angle ABC\]
\[16 = 100 - 96 \cdot \cos \angle ABC\]
\[96 \cdot \cos \angle ABC = 100 - 16\]
\[96 \cdot \cos \angle ABC = 84\]
\[\cos \angle ABC = \frac{84}{96} = \frac{7}{8} = 0,875\]
Ответ: 0,875.
Задача 16.
Дано: хорды \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(P\). \(BP = 7\), \(CP = 14\), \(DP = 10\).
Найти: \(AP\).
Решение:
По свойству пересекающихся хорд произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:
\[AP \cdot CP = BP \cdot DP\]
Подставим значения:
\[AP \cdot 14 = 7 \cdot 10\]
\[14 \cdot AP = 70\]
\[AP = \frac{70}{14} = 5\]
Ответ: 5.
Задача 17.
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм. \(\angle BAC = 40^\circ\), \(\angle CAD = 35^\circ\).
Найти: больший угол параллелограмма.
Решение:
1) Найдем острый угол параллелограмма \(\angle A\):
\[\angle A = \angle BAC + \angle CAD = 40^\circ + 35^\circ = 75^\circ\]
2) Сумма соседних углов параллелограмма равна \(180^\circ\). Найдем тупой угол \(\angle B\):
\[\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\]
Так как \(105^\circ > 75^\circ\), то больший угол равен \(105^\circ\).
Ответ: 105.
Задача 18.
На клетчатой бумаге изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение:
Посчитаем по клеткам длину горизонтальной и вертикальной диагоналей:
Горизонтальная диагональ составляет 10 клеток.
Вертикальная диагональ составляет 6 клеток.
Большая диагональ равна 10.
Ответ: 10.
Задача 19.
Какое из следующих утверждений верно?
1) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей. (Неверно, это формула для ромба или если умножить на синус угла между ними).
2) Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам. (Неверно, сумма углов любого треугольника равна 180 градусам).
3) Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник. (Верно, это определение центра вписанной окружности).
Ответ: 3.