Решение квадратных неравенств с отрицательным дискриминантом

Для решения этих неравенств исследуем дискриминант и направление ветвей парабол. Рассмотрим первую пару неравенств с выражением \(2x^2 + 4x + 3\). Найдем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8\] Так как \(D < 0\), квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Коэффициент при \(x^2\) положителен (\(2 > 0\)), значит, ветви параболы направлены вверх и она вся лежит выше оси \(Ox\). Это означает, что выражение \(2x^2 + 4x + 3\) всегда принимает только положительные значения. 1. Неравенство \(2x^2 + 4x + 3 < 0\) Так как выражение всегда больше нуля, оно не может быть меньше нуля. Ответ: \(\varnothing\) 2. Неравенство \(2x^2 + 4x + 3 > 0\) Выражение всегда больше нуля при любом значении переменной. Ответ: \(x \in R\) Рассмотрим вторую пару неравенств с выражением \(-2x^2 + 4x - 3\). Найдем дискриминант: \[D = 4^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 16 - 24 = -8\] Так как \(D < 0\), корней нет. Коэффициент при \(x^2\) отрицателен (\(-2 < 0\)), значит, ветви параболы направлены вниз и она вся лежит ниже оси \(Ox\). Это означает, что выражение \(-2x^2 + 4x - 3\) всегда принимает только отрицательные значения. 3. Неравенство \(-2x^2 + 4x - 3 < 0\) Выражение всегда меньше нуля при любом значении переменной. Ответ: \(x \in R\) 4. Неравенство \(-2x^2 + 4x - 3 > 0\) Так как выражение всегда меньше нуля, оно не может быть больше нуля. Ответ: \(\varnothing\)