Решение задач по геометрии: угол ACB и хорды

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Задача 6. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен \(115^\circ\). Ответ дайте в градусах. Решение: 1. Угол AOB является центральным углом, опирающимся на дугу AB. 2. Угол ACB является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу AB. 3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. 4. Значит, угол ACB = \(\frac{1}{2} \cdot \text{угол AOB}\). 5. Угол ACB = \(\frac{1}{2} \cdot 115^\circ\). 6. Угол ACB = \(57,5^\circ\). Ответ: \(57,5\). Задача 7. Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P. Найти AP, если BP=15, CP=6, DP=10. Решение: 1. При пересечении двух хорд в окружности произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. 2. То есть, \(AP \cdot CP = BP \cdot DP\). 3. Подставим известные значения: \(AP \cdot 6 = 15 \cdot 10\). 4. \(AP \cdot 6 = 150\). 5. \(AP = \frac{150}{6}\). 6. \(AP = 25\). Ответ: \(25\). Задача 8. Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём, AB=3, AC=12. Найдите AK. Решение: 1. По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на ее внешнюю часть. 2. То есть, \(AK^2 = AB \cdot AC\). 3. Подставим известные значения: \(AK^2 = 3 \cdot 12\). 4. \(AK^2 = 36\). 5. \(AK = \sqrt{36}\). 6. \(AK = 6\). Ответ: \(6\). Задача 9. Точки B, C, D и E угла CAE лежат на окружности, причём точка B лежит на AC. AB=3, AC=6, AD=2. Найдите DE. Решение: 1. Точки B, C, D, E лежат на окружности, и прямые AC и AE являются секущими, проведенными из точки A. 2. По свойству секущих, проведенных из одной точки к окружности, произведение отрезка секущей на ее внешнюю часть для одной секущей равно произведению отрезка секущей на ее внешнюю часть для другой секущей. 3. То есть, \(AB \cdot AC = AD \cdot AE\). 4. Подставим известные значения: \(3 \cdot 6 = 2 \cdot AE\). 5. \(18 = 2 \cdot AE\). 6. \(AE = \frac{18}{2}\). 7. \(AE = 9\). 8. Отрезок AE состоит из отрезков AD и DE. 9. \(AE = AD + DE\). 10. \(9 = 2 + DE\). 11. \(DE = 9 - 2\). 12. \(DE = 7\). Ответ: \(7\). Задача 10. Точки K и H лежат соответственно на сторонах AC и CB треугольника ABC, причем MP || AB. Найдите сторону AC, если KC=12см, KH=6см, AB=8см? (В условии опечатка, скорее всего, MP || AB должно быть KH || AB, так как точки K и H даны). Решение (предполагаем, что KH || AB): 1. Если KH || AB, то треугольник KCH подобен треугольнику ACB по двум углам (угол C общий, и углы CKH и CAB равны как соответственные при параллельных прямых KH и AB и секущей AC). 2. Из подобия треугольников следует отношение сторон: \(\frac{KC}{AC} = \frac{KH}{AB}\). 3. Подставим известные значения: \(\frac{12}{AC} = \frac{6}{8}\). 4. Решим пропорцию: \(6 \cdot AC = 12 \cdot 8\). 5. \(6 \cdot AC = 96\). 6. \(AC = \frac{96}{6}\). 7. \(AC = 16\). Ответ: \(16\).