Задача:
Расстояние между городами А и В равно 375 км. Город С находится между городами А и В. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 1 час 30 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.
Решение:
1. Обозначим неизвестные величины:
- Пусть \(S_{AC}\) — расстояние от города А до города С (то, что нам нужно найти).
- Пусть \(v_а\) — скорость автомобиля.
- Пусть \(v_м\) — скорость мотоциклиста. Известно, что \(v_м = 75\) км/ч.
- Пусть \(t_0\) — время, через которое мотоциклист выехал после автомобиля. Известно, что \(t_0 = 1\) час 30 минут \( = 1,5\) часа.
2. Рассмотрим движение до встречи в городе С:
- Время, за которое автомобиль доехал до С: \(t_а = \frac{S_{AC}}{v_а}\).
- Время, за которое мотоциклист доехал до С: \(t_м = \frac{S_{AC}}{v_м}\).
- Мотоциклист выехал позже, поэтому время его движения до встречи меньше времени движения автомобиля на \(t_0\): \[t_а - t_м = t_0\] \[\frac{S_{AC}}{v_а} - \frac{S_{AC}}{v_м} = t_0\] \[S_{AC} \left( \frac{1}{v_а} - \frac{1}{v_м} \right) = t_0\] \[S_{AC} \left( \frac{v_м - v_а}{v_а v_м} \right) = t_0 \quad (1)\]
3. Рассмотрим движение после встречи:
- Мотоциклист повернул обратно и вернулся в А. Расстояние, которое он проехал обратно, равно \(S_{AC}\).
- Время, за которое мотоциклист вернулся в А: \(t_{м\_обратно} = \frac{S_{AC}}{v_м}\).
- В тот момент, когда мотоциклист вернулся в А, автомобиль прибыл в В.
- Общее время движения автомобиля от А до В: \(T_а = \frac{S_{AB}}{v_а}\). Известно, что \(S_{AB} = 375\) км. \[T_а = \frac{375}{v_а}\]
- Общее время движения мотоциклиста (от выезда до возвращения в А): \(T_м = t_м + t_{м\_обратно} = \frac{S_{AC}}{v_м} + \frac{S_{AC}}{v_м} = \frac{2 S_{AC}}{v_м}\).
- Автомобиль выехал на \(t_0\) раньше мотоциклиста. Поэтому, когда мотоциклист вернулся в А, автомобиль уже проехал всё расстояние \(S_{AB}\).
- Значит, общее время движения автомобиля равно сумме времени, которое мотоциклист ехал до встречи, времени, которое мотоциклист ехал обратно, и времени, на которое автомобиль выехал раньше: \[T_а = t_0 + T_м\] \[\frac{375}{v_а} = t_0 + \frac{2 S_{AC}}{v_м} \quad (2)\]
4. У нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (\(S_{AC}\) и \(v_а\)):
\[\begin{cases} S_{AC} \left( \frac{v_м - v_а}{v_а v_м} \right) = t_0 \\ \frac{375}{v_а} = t_0 + \frac{2 S_{AC}}{v_м} \end{cases}\]5. Подставим известные значения: \(v_м = 75\) км/ч, \(t_0 = 1,5\) часа.
\[\begin{cases} S_{AC} \left( \frac{75 - v_а}{75 v_а} \right) = 1,5 \quad (1') \\ \frac{375}{v_а} = 1,5 + \frac{2 S_{AC}}{75} \quad (2') \end{cases}\]6. Из уравнения (1') выразим \(t_0\) (мы уже это сделали, но перепишем для удобства):
\[1,5 = \frac{S_{AC}(75 - v_а)}{75 v_а}\]7. Из уравнения (2') выразим \(t_0\):
\[1,5 = \frac{375}{v_а} - \frac{2 S_{AC}}{75}\]8. Приравняем правые части выражений для \(t_0\):
\[\frac{S_{AC}(75 - v_а)}{75 v_а} = \frac{375}{v_а} - \frac{2 S_{AC}}{75}\]9. Умножим обе части уравнения на \(75 v_а\), чтобы избавиться от знаменателей:
\[S_{AC}(75 - v_а) = 375 \cdot 75 - 2 S_{AC} v_а\] \[75 S_{AC} - S_{AC} v_а = 28125 - 2 S_{AC} v_а\]10. Перенесем все члены, содержащие \(S_{AC}\), в одну сторону, а остальные — в другую:
\[75 S_{AC} - S_{AC} v_а + 2 S_{AC} v_а = 28125\] \[75 S_{AC} + S_{AC} v_а = 28125\] \[S_{AC} (75 + v_а) = 28125 \quad (3)\]11. Теперь вернемся к уравнению (1') и выразим \(v_а\):
\[S_{AC} (75 - v_а) = 1,5 \cdot 75 v_а\] \[75 S_{AC} - S_{AC} v_а = 112,5 v_а\] \[75 S_{AC} = 112,5 v_а + S_{AC} v_а\] \[75 S_{AC} = v_а (112,5 + S_{AC})\] \[v_а = \frac{75 S_{AC}}{112,5 + S_{AC}}\]12. Подставим это выражение для \(v_а\) в уравнение (3):
\[S_{AC} \left( 75 + \frac{75 S_{AC}}{112,5 + S_{AC}} \right) = 28125\]13. Упростим выражение в скобках:
\[75 + \frac{75 S_{AC}}{112,5 + S_{AC}} = \frac{75(112,5 + S_{AC}) + 75 S_{AC}}{112,5 + S_{AC}}\] \[ = \frac{75 \cdot 112,5 + 75 S_{AC} + 75 S_{AC}}{112,5 + S_{AC}}\] \[ = \frac{8437,5 + 150 S_{AC}}{112,5 + S_{AC}}\]14. Подставим это обратно в уравнение:
\[S_{AC} \left( \frac{8437,5 + 150 S_{AC}}{112,5 + S_{AC}} \right) = 28125\] \[S_{AC} (8437,5 + 150 S_{AC}) = 28125 (112,5 + S_{AC})\] \[8437,5 S_{AC} + 150 S_{AC}^2 = 28125 \cdot 112,5 + 28125 S_{AC}\] \[8437,5 S_{AC} + 150 S_{AC}^2 = 3164062,5 + 28125 S_{AC}\]15. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\[150 S_{AC}^2 + (8437,5 - 28125) S_{AC} - 3164062,5 = 0\] \[150 S_{AC}^2 - 19687,5 S_{AC} - 3164062,5 = 0\]16. Разделим все члены на 150 для упрощения:
\[S_{AC}^2 - \frac{19687,5}{150} S_{AC} - \frac{3164062,5}{150} = 0\] \[S_{AC}^2 - 131,25 S_{AC} - 21093,75 = 0\]17. Решим квадратное уравнение с помощью формулы корней \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\):
\[S_{AC} = \frac{131,25 \pm \sqrt{(-131,25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21093,75)}}{2 \cdot 1}\] \[S_{AC} = \frac{131,25 \pm \sqrt{17226,5625 + 84375}}{2}\] \[S_{AC} = \frac{131,25 \pm \sqrt{101601,5625}}{2}\] \[S_{AC} = \frac{131,25 \pm 318,75}{2}\]18. Находим два возможных значения для \(S_{AC}\):
\[S_{AC_1} = \frac{131,25 + 318,75}{2} = \frac{450}{2} = 225\] \[S_{AC_2} = \frac{131,25 - 318,75}{2} = \frac{-187,5}{2} = -93,75\]19. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому \(S_{AC} = 225\) км.
Проверка:
Если \(S_{AC} = 225\) км, найдем скорость автомобиля \(v_а\) из уравнения (3):
\[225 (75 + v_а) = 28125\] \[75 + v_а = \frac{28125}{225}\] \[75 + v_а = 125\] \[v_а = 125 - 75 = 50\]Скорость автомобиля \(v_а = 50\) км/ч.
Проверим уравнение (1'):
\[S_{AC} \left( \frac{75 - v_а}{75 v_а} \right) = 1,5\] \[225 \left( \frac{75 - 50}{75 \cdot 50} \right) = 225 \left( \frac{25}{3750} \right) = 225 \cdot \frac{1}{150} = \frac{225}{150} = 1,5\]Верно.
Проверим уравнение (2'):
\[\frac{375}{v_а} = 1,5 + \frac{2 S_{AC}}{75}\] \[\frac{375}{50} = 1,5 + \frac{2 \cdot 225}{75}\] \[7,5 = 1,5 + \frac{450}{75}\] \[7,5 = 1,5 + 6\] \[7,5 = 7,5\]Верно.
Ответ: Расстояние от А до С равно 225 км.