Решение задачи №23: Параллелограмм и биссектриса

Решение задачи №23 Дано: \(ABCD\) — параллелограмм. \(AK\) — биссектриса угла \(A\). Точка \(K\) лежит на стороне \(BC\). \(BK = 4\), \(CK = 19\). Найти: Периметр параллелограмма \(P_{ABCD}\). Решение: 1. Найдем длину стороны \(BC\). Так как точка \(K\) лежит на стороне \(BC\), то: \[BC = BK + CK = 4 + 19 = 23\] Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то \(AD = BC = 23\). 2. Рассмотрим углы при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(AK\). Угол \(KAD\) равен углу \(BKA\) как накрест лежащие углы при \(BC \parallel AD\). 3. По условию \(AK\) — биссектриса угла \(A\), следовательно, угол \(BAK\) равен углу \(KAD\). 4. Из пунктов 2 и 3 следует, что в треугольнике \(ABK\) углы при основании \(AK\) равны: \[\angle BKA = \angle BAK\] Значит, треугольник \(ABK\) — равнобедренный с основанием \(AK\). 5. В равнобедренном треугольнике \(ABK\) боковые стороны равны: \[AB = BK = 4\] Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то \(CD = AB = 4\). 6. Вычислим периметр параллелограмма \(ABCD\): \[P = 2 \cdot (AB + BC)\] \[P = 2 \cdot (4 + 23) = 2 \cdot 27 = 54\] Ответ: 54. Решение задачи №24 Дано: \(ABCD\) — трапеция. \(BC = 6\), \(AD = 24\), \(BD = 12\). Доказать: \(\triangle CBD \sim \triangle BDA\). Доказательство: 1. Рассмотрим углы при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) (основания трапеции) и секущей \(BD\). Угол \(CBD\) равен углу \(BDA\) как накрест лежащие углы. 2. Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этим углам в треугольниках \(CBD\) и \(BDA\). Найдем отношение меньших сторон: \[\frac{BC}{BD} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\] Найдем отношение больших сторон: \[\frac{BD}{AD} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}\] 3. Таким образом: \[\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD} = \frac{1}{2}\] Две стороны треугольника \(CBD\) пропорциональны двум сторонам треугольника \(BDA\), а углы между ними равны (\(\angle CBD = \angle BDA\)). 4. По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними): \(\triangle CBD \sim \triangle BDA\). Что и требовалось доказать.