Решение задачи №5: Сдвиг фаз между токами I3 и I1

Задача №5 Дано: \[ X_C = 35 \, \text{Ом} \] \[ X_{L1} = 20 \, \text{Ом} \] \[ X_{L2} = 60 \, \text{Ом} \] \[ X_M = 10 \, \text{Ом} \] \[ R = 20 \, \text{Ом} \] \[ \dot{I}_3 = 1 \, \text{А} \] Найти: сдвиг фаз между \( \dot{I}_3 \) и \( \dot{I}_1 \). Решение: 1. Запишем комплексные сопротивления элементов: \[ \underline{Z}_C = -j35 \, \text{Ом} \] \[ \underline{Z}_{L1} = j20 \, \text{Ом} \] \[ \underline{Z}_{L2} = j60 \, \text{Ом} \] \[ \underline{Z}_M = j10 \, \text{Ом} \] \[ \underline{Z}_R = 20 \, \text{Ом} \] 2. Согласно схеме, ток \( \dot{I}_1 \) протекает через первую катушку, а ток \( \dot{I}_3 \) — через вторую. Катушки связаны взаимной индуктивностью. Направление токов относительно одноименных зажимов (помеченных звездочками): ток \( \dot{I}_1 \) вытекает из зажима со звездочкой, а ток \( \dot{I}_3 \) втекает в зажим со звездочкой. Это означает, что ЭДС взаимной индукции будет иметь знак "минус" в уравнениях по второму закону Кирхгофа, если рассматривать контуры. 3. Рассмотрим узел, где разделяются токи. Пусть ток в правой ветви с резистором \( R \) равен \( \dot{I}_R \). По первому закону Кирхгофа: \[ \dot{I}_1 = \dot{I}_3 + \dot{I}_R \] 4. Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для правого параллельного контура (содержащего вторую катушку и резистор). Учитываем влияние первой катушки на вторую через взаимную индукцию: \[ \dot{I}_3 \cdot \underline{Z}_{L2} - \dot{I}_1 \cdot \underline{Z}_M = \dot{I}_R \cdot R \] Подставим значения: \[ \dot{I}_3 \cdot j60 - \dot{I}_1 \cdot j10 = \dot{I}_R \cdot 20 \] 5. Выразим \( \dot{I}_R \) из уравнения первого закона Кирхгофа: \( \dot{I}_R = \dot{I}_1 - \dot{I}_3 \). Подставим это в уравнение контура: \[ j60 \cdot \dot{I}_3 - j10 \cdot \dot{I}_1 = 20 \cdot (\dot{I}_1 - \dot{I}_3) \] \[ j60 \cdot \dot{I}_3 - j10 \cdot \dot{I}_1 = 20 \dot{I}_1 - 20 \dot{I}_3 \] 6. Сгруппируем слагаемые с \( \dot{I}_1 \) и \( \dot{I}_3 \): \[ \dot{I}_3 (20 + j60) = \dot{I}_1 (20 + j10) \] \[ \frac{\dot{I}_1}{\dot{I}_3} = \frac{20 + j60}{20 + j10} = \frac{2 + j6}{2 + j1} \] 7. Найдем комплексное число, определяющее отношение токов: \[ \frac{\dot{I}_1}{\dot{I}_3} = \frac{(2 + j6)(2 - j1)}{(2 + j1)(2 - j1)} = \frac{4 - j2 + j12 + 6}{4 + 1} = \frac{10 + j10}{5} = 2 + j2 \] 8. Переведем полученное отношение в показательную форму: \[ \underline{k} = 2 + j2 = \sqrt{2^2 + 2^2} \cdot e^{j \cdot \text{arctg}(\frac{2}{2})} = \sqrt{8} \cdot e^{j45^\circ} \] 9. Сдвиг фаз \( \varphi \) между токами \( \dot{I}_1 \) и \( \dot{I}_3 \) равен аргументу полученного комплексного числа: \[ \varphi = \arg(\dot{I}_1) - \arg(\dot{I}_3) = 45^\circ \] Ответ: сдвиг фаз составляет \( 45^\circ \). Ток \( \dot{I}_1 \) опережает ток \( \dot{I}_3 \) на \( 45^\circ \).